Номер 52.9, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52.9. Два стрелка целятся по мишеням. Вероятность попадания их в мишень равны 0,8 и 0,9. Стрелки по очереди производят по одному выстрелу. Случайная величина $X$ — это число попаданий в цель. Запишите закон распределения этой случайной величины.

Пусть $p_1$ — это вероятность попадания первого стрелка, а $p_2$ — вероятность попадания второго стрелка. Согласно условию задачи:

$p_1 = 0,8$

$p_2 = 0,9$

Вероятности промаха для каждого стрелка ($q_1$ и $q_2$) будут равны:

$q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0,8 = 0,2$

$q_2 = 1 - p_2 = 1 - 0,9 = 0,1$

Случайная величина $X$ — это общее число попаданий в цель. Поскольку стрелков двое и каждый делает по одному выстрелу, $X$ может принимать три возможных значения: 0, 1 или 2. Найдем вероятности для каждого из этих значений, считая выстрелы независимыми событиями.

1. Вероятность $P(X=0)$ (нет попаданий)

Это событие произойдет, если оба стрелка промахнутся. Вероятность этого равна произведению вероятностей промахов каждого стрелка:

$P(X=0) = q_1 \cdot q_2 = 0,2 \cdot 0,1 = 0,02$

2. Вероятность $P(X=1)$ (одно попадание)

Это событие может произойти в двух случаях:

а) Первый стрелок попал, а второй промахнулся. Вероятность: $p_1 \cdot q_2 = 0,8 \cdot 0,1 = 0,08$.

б) Первый стрелок промахнулся, а второй попал. Вероятность: $q_1 \cdot p_2 = 0,2 \cdot 0,9 = 0,18$.

Так как эти два случая являются несовместными событиями, общая вероятность для $X=1$ равна их сумме:

$P(X=1) = (p_1 \cdot q_2) + (q_1 \cdot p_2) = 0,08 + 0,18 = 0,26$

3. Вероятность $P(X=2)$ (два попадания)

Это событие произойдет, если оба стрелка попадут в цель. Вероятность этого равна произведению вероятностей попадания каждого стрелка:

$P(X=2) = p_1 \cdot p_2 = 0,8 \cdot 0,9 = 0,72$

Для контроля выполним проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,02 + 0,26 + 0,72 = 1,00$

Таким образом, мы нашли все возможные значения случайной величины и их вероятности. Теперь запишем закон распределения в виде таблицы.

Ответ: Закон распределения случайной величины $X$ (число попаданий) имеет следующий вид: