Номер 52.12, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52.12. В партии из 20 изделий имеются 4 изделия с дефектами. Для проверки их качества случайно выбирают 3 изделия. Составьте ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в этой выборке.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу дефектных изделий в выборке. По условию задачи, в партии 20 изделий, из которых 4 являются дефектными, а остальные $20 - 4 = 16$ изделий — стандартными (без дефектов). Из партии случайным образом отбирают 3 изделия.

Случайная величина $X$ может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Для нахождения вероятностей будем использовать классическое определение вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию. Число исходов будем вычислять с помощью формулы для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов выбрать 3 изделия из 20 равно:

$n = C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 19 \cdot 6 = 1140$.

Теперь найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

1. В выборке 0 дефектных изделий ($X=0$).

Это означает, что все 3 выбранных изделия — стандартные. Число способов выбрать 0 дефектных изделий из 4 и 3 стандартных из 16 равно:

$m_0 = C_4^0 \cdot C_{16}^3 = 1 \cdot \frac{16!}{3!(16-3)!} = 1 \cdot \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 560$.

Вероятность этого события:

$P(X=0) = \frac{m_0}{n} = \frac{560}{1140} = \frac{56}{114} = \frac{28}{57}$.

2. В выборке 1 дефектное изделие ($X=1$).

Это означает, что выбрано 1 дефектное изделие из 4 и 2 стандартных изделия из 16. Число таких способов:

$m_1 = C_4^1 \cdot C_{16}^2 = 4 \cdot \frac{16!}{2!(16-2)!} = 4 \cdot \frac{16 \cdot 15}{2} = 4 \cdot 120 = 480$.

Вероятность этого события:

$P(X=1) = \frac{m_1}{n} = \frac{480}{1140} = \frac{48}{114} = \frac{24}{57}$.

3. В выборке 2 дефектных изделия ($X=2$).

Это означает, что выбрано 2 дефектных изделия из 4 и 1 стандартное изделие из 16. Число таких способов:

$m_2 = C_4^2 \cdot C_{16}^1 = \frac{4!}{2!2!} \cdot 16 = \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96$.

Вероятность этого события:

$P(X=2) = \frac{m_2}{n} = \frac{96}{1140} = \frac{8}{95}$.

4. В выборке 3 дефектных изделия ($X=3$).

Это означает, что все 3 выбранных изделия — дефектные. Число способов выбрать 3 дефектных изделия из 4 и 0 стандартных из 16:

$m_3 = C_4^3 \cdot C_{16}^0 = 4 \cdot 1 = 4$.

Вероятность этого события:

$P(X=3) = \frac{m_3}{n} = \frac{4}{1140} = \frac{1}{285}$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1. Приведем дроби к общему знаменателю 285:

$\frac{28}{57} + \frac{24}{57} + \frac{8}{95} + \frac{1}{285} = \frac{28 \cdot 5}{285} + \frac{24 \cdot 5}{285} + \frac{8 \cdot 3}{285} + \frac{1}{285} = \frac{140 + 120 + 24 + 1}{285} = \frac{285}{285} = 1$.

Вычисления верны.

Ответ: Ряд распределения числа дефектных изделий в выборке можно представить в виде таблицы: