Задания, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вычислите математическое ожидание M(X) случайной величины X, принимающей значения $x_1 = 2, x_2 = 3, x_3 = 4, x_4 = 5, x_5 = 6, x_6 = 7, x_7 = 8, x_8 = 9, x_9 = 10, x_{10} = 11, x_{11} = 12$ с вероятностями $p_1 = \frac{1}{36}, p_2 = \frac{1}{18}, p_3 = \frac{1}{12}, p_4 = \frac{1}{9}, p_5 = \frac{5}{36}, p_6 = \frac{1}{6}, p_7 = \frac{5}{36}, p_8 = \frac{1}{9}, p_9 = \frac{1}{12}, p_{10} = \frac{1}{18}, p_{11} = \frac{1}{36}.$

Математическое ожидание указывает некоторое “среднее число”, около которого группируются все значения случайной величины.

Вычислите среднее арифметическое значение случайной величины X, принимающей значения $x_1 = 2, x_2 = 3, x_3 = 4, x_4 = 5, x_5 = 6, x_6 = 7, x_7 = 8, x_8 = 9, x_9 = 10, x_{10} = 11, x_{11} = 12,$ и сравните с ее математическим ожиданием M(X).

Вычислите математическое ожидание M(X) случайной величины X, принимающей значения x₁, x₂, ..., x₁₁ с вероятностями p₁, p₂, ..., p₁₁

Математическое ожидание $M(X)$ для дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на соответствующие им вероятности. Формула для расчёта:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

Подставим в формулу значения $x_i$ и вероятности $p_i$ из условия задачи:

$M(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{1}{18} + 4 \cdot \frac{1}{12} + 5 \cdot \frac{1}{9} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{1}{6} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{1}{9} + 10 \cdot \frac{1}{12} + 11 \cdot \frac{1}{18} + 12 \cdot \frac{1}{36}$

Для упрощения вычислений приведем все дроби к общему знаменателю, равному 36:

$M(X) = \frac{2 \cdot 1}{36} + \frac{3 \cdot 2}{36} + \frac{4 \cdot 3}{36} + \frac{5 \cdot 4}{36} + \frac{6 \cdot 5}{36} + \frac{7 \cdot 6}{36} + \frac{8 \cdot 5}{36} + \frac{9 \cdot 4}{36} + \frac{10 \cdot 3}{36} + \frac{11 \cdot 2}{36} + \frac{12 \cdot 1}{36}$

Теперь сложим числители:

$M(X) = \frac{1}{36} (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12)$

$M(X) = \frac{252}{36}$

Выполнив деление, получаем окончательный результат:

$M(X) = 7$

Ответ: $M(X) = 7$.

Вычислите среднее арифметическое значение случайной величины X, принимающей значения x₁ = 2, x₂ = 3, ..., x₁₁ = 12, и сравните с ее математическим ожиданием M(X)

Среднее арифметическое значение (обозначим $\bar{x}$) для набора чисел — это их сумма, деленная на их количество. В нашем случае имеется 11 значений случайной величины: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Формула среднего арифметического:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Подставим наши значения:

$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12}{11}$

Сумма чисел в числителе представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, которая равна 77.

$\bar{x} = \frac{77}{11} = 7$

Теперь сравним полученное среднее арифметическое со значением математического ожидания из предыдущего пункта:

Среднее арифметическое $\bar{x} = 7$.

Математическое ожидание $M(X) = 7$.

Значения среднего арифметического и математического ожидания равны. Это связано с тем, что распределение вероятностей в данной задаче симметрично относительно центрального значения $x_6=7$.

Ответ: Среднее арифметическое значение равно 7, что совпадает со значением математического ожидания $M(X)$.