Страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Заполните таблицу, используя график функции $y = \text{arctgx}$ (рис. 16.12).

Область определения

Область (множество) значений

Четность (нечетность)

Монотонность

Наибольшее значение

Наименьшее значение

Нули функции

Рис. 16.12

Область определения

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Анализируя график функции $y = \operatorname{arctg}x$, мы видим, что он непрерывен и простирается бесконечно как влево, так и вправо вдоль оси $x$. Это означает, что функция определена для любого действительного числа $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

Область (множество) значений

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$. Из графика видно, что значения функции $y$ заключены между двумя горизонтальными асимптотами: $y = -\frac{\pi}{2}$ и $y = \frac{\pi}{2}$. График приближается к этим линиям, но никогда их не пересекает. Таким образом, все значения функции лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Четность (нечетность)

Чтобы определить четность функции, нужно проверить ее график на симметрию. График функции $y = \operatorname{arctg}x$ симметричен относительно начала координат (точки O). Это свойство характерно для нечетных функций, у которых выполняется условие $f(-x) = -f(x)$.

Ответ: функция нечетная.

Монотонность

Монотонность функции описывает ее поведение (возрастание или убывание) на области определения. На представленном графике видно, что при увеличении значения $x$ (при движении слева направо) значение $y$ всегда увеличивается. Следовательно, функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Наибольшее значение

Наибольшее значение функции — это максимальное значение $y$, которое она достигает. Функция $y = \operatorname{arctg}x$ ограничена сверху числом $\frac{\pi}{2}$, но никогда не достигает этого значения (поскольку $y = \frac{\pi}{2}$ является асимптотой). Таким образом, у функции нет наибольшего значения.

Ответ: наибольшего значения не существует.

Наименьшее значение

Наименьшее значение функции — это минимальное значение $y$, которое она достигает. Функция $y = \operatorname{arctg}x$ ограничена снизу числом $-\frac{\pi}{2}$, но никогда не достигает этого значения (поскольку $y = -\frac{\pi}{2}$ является асимптотой). Таким образом, у функции нет наименьшего значения.

Ответ: наименьшего значения не существует.

Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. На графике это точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$). Мы видим, что график функции $y = \operatorname{arctg}x$ пересекает ось $Ox$ в одной точке — начале координат $(0, 0)$. Это значит, что $y=0$ при $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

ОБЪЯСНИТЕ

Как построили график функции $y = \operatorname{arctg}x$ (рис. 16.11)?

График функции $y = \operatorname{arctg} x$ является графиком функции, обратной к функции $y = \operatorname{tg} x$. Построение графика обратной функции осуществляется на основе графика исходной функции. Процесс построения можно разбить на несколько шагов.

1. Выбор интервала монотонности для исходной функции.

Функция $y = \operatorname{tg} x$ периодическая и на всей своей области определения не является монотонной. Чтобы найти для нее обратную функцию, необходимо выделить интервал, на котором она либо только возрастает, либо только убывает. Стандартно для тангенса выбирают главный интервал монотонного возрастания: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На этом промежутке, как показано на рис. 16.10, функция $y = \operatorname{tg} x$ строго возрастает и принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.

2. Использование свойства симметрии графиков взаимно обратных функций.

Основное свойство графиков взаимно обратных функций заключается в том, что они симметричны друг другу относительно прямой $y = x$ (биссектрисы I и III координатных четвертей). Таким образом, чтобы получить график функции $y = \operatorname{arctg} x$, нужно взять график функции $y = \operatorname{tg} x$, построенный на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, и выполнить его зеркальное отражение относительно прямой $y=x$.

3. Преобразование ключевых характеристик графика.

При симметричном отражении относительно прямой $y = x$ происходит следующее:

• Область определения исходной функции становится областью значений для обратной. Так как для $y = \operatorname{tg} x$ была взята область определения $D(\operatorname{tg}) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то для $y = \operatorname{arctg} x$ область значений будет $E(\operatorname{arctg}) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

• Область значений исходной функции становится областью определения для обратной. Область значений $y = \operatorname{tg} x$ на выбранном интервале $E(\operatorname{tg}) = (-\infty; +\infty)$, следовательно, для $y = \operatorname{arctg} x$ область определения будет $D(\operatorname{arctg}) = (-\infty; +\infty)$.

• Вертикальные асимптоты графика $y = \operatorname{tg} x$ (прямые $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$) преобразуются в горизонтальные асимптоты для графика $y = \operatorname{arctg} x$. Этими асимптотами становятся прямые $y = -\frac{\pi}{2}$ и $y = \frac{\pi}{2}$.

• Каждая точка $(a, b)$ на графике $y = \operatorname{tg} x$ переходит в точку $(b, a)$ на графике $y = \operatorname{arctg} x$. Например, точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в $(1, \frac{\pi}{4})$, а точка $(0, 0)$ остается на месте.

На рисунке 16.11 как раз и показан этот процесс: график $y = \operatorname{arctg} x$ получен как симметричное отражение графика $y = \operatorname{tg} x$ относительно прямой $y = x$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{arctg} x$ построили путем симметричного отражения графика функции $y = \operatorname{tg} x$ относительно прямой $y=x$. Для этого был взят основной фрагмент графика тангенса, определенный на интервале монотонности $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. В результате этого преобразования область определения и область значений функций поменялись местами, а вертикальные асимптоты $x = \pm\frac{\pi}{2}$ у тангенса превратились в горизонтальные асимптоты $y = \pm\frac{\pi}{2}$ у арктангенса.

Вычислите математическое ожидание M(X) случайной величины X, принимающей значения $x_1 = 2, x_2 = 3, x_3 = 4, x_4 = 5, x_5 = 6, x_6 = 7, x_7 = 8, x_8 = 9, x_9 = 10, x_{10} = 11, x_{11} = 12$ с вероятностями $p_1 = \frac{1}{36}, p_2 = \frac{1}{18}, p_3 = \frac{1}{12}, p_4 = \frac{1}{9}, p_5 = \frac{5}{36}, p_6 = \frac{1}{6}, p_7 = \frac{5}{36}, p_8 = \frac{1}{9}, p_9 = \frac{1}{12}, p_{10} = \frac{1}{18}, p_{11} = \frac{1}{36}.$

Математическое ожидание указывает некоторое “среднее число”, около которого группируются все значения случайной величины.

Вычислите среднее арифметическое значение случайной величины X, принимающей значения $x_1 = 2, x_2 = 3, x_3 = 4, x_4 = 5, x_5 = 6, x_6 = 7, x_7 = 8, x_8 = 9, x_9 = 10, x_{10} = 11, x_{11} = 12,$ и сравните с ее математическим ожиданием M(X).

Вычислите математическое ожидание M(X) случайной величины X, принимающей значения x₁, x₂, ..., x₁₁ с вероятностями p₁, p₂, ..., p₁₁

Математическое ожидание $M(X)$ для дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на соответствующие им вероятности. Формула для расчёта:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

Подставим в формулу значения $x_i$ и вероятности $p_i$ из условия задачи:

$M(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{1}{18} + 4 \cdot \frac{1}{12} + 5 \cdot \frac{1}{9} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{1}{6} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{1}{9} + 10 \cdot \frac{1}{12} + 11 \cdot \frac{1}{18} + 12 \cdot \frac{1}{36}$

Для упрощения вычислений приведем все дроби к общему знаменателю, равному 36:

$M(X) = \frac{2 \cdot 1}{36} + \frac{3 \cdot 2}{36} + \frac{4 \cdot 3}{36} + \frac{5 \cdot 4}{36} + \frac{6 \cdot 5}{36} + \frac{7 \cdot 6}{36} + \frac{8 \cdot 5}{36} + \frac{9 \cdot 4}{36} + \frac{10 \cdot 3}{36} + \frac{11 \cdot 2}{36} + \frac{12 \cdot 1}{36}$

Теперь сложим числители:

$M(X) = \frac{1}{36} (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12)$

$M(X) = \frac{252}{36}$

Выполнив деление, получаем окончательный результат:

$M(X) = 7$

Ответ: $M(X) = 7$.

Вычислите среднее арифметическое значение случайной величины X, принимающей значения x₁ = 2, x₂ = 3, ..., x₁₁ = 12, и сравните с ее математическим ожиданием M(X)

Среднее арифметическое значение (обозначим $\bar{x}$) для набора чисел — это их сумма, деленная на их количество. В нашем случае имеется 11 значений случайной величины: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Формула среднего арифметического:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Подставим наши значения:

$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12}{11}$

Сумма чисел в числителе представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, которая равна 77.

$\bar{x} = \frac{77}{11} = 7$

Теперь сравним полученное среднее арифметическое со значением математического ожидания из предыдущего пункта:

Среднее арифметическое $\bar{x} = 7$.

Математическое ожидание $M(X) = 7$.

Значения среднего арифметического и математического ожидания равны. Это связано с тем, что распределение вероятностей в данной задаче симметрично относительно центрального значения $x_6=7$.

Ответ: Среднее арифметическое значение равно 7, что совпадает со значением математического ожидания $M(X)$.