Задания, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Заполните таблицу, используя график функции $y = \text{arctgx}$ (рис. 16.12).

Область определения

Область (множество) значений

Четность (нечетность)

Монотонность

Наибольшее значение

Наименьшее значение

Нули функции

Рис. 16.12

Область определения

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Анализируя график функции $y = \operatorname{arctg}x$, мы видим, что он непрерывен и простирается бесконечно как влево, так и вправо вдоль оси $x$. Это означает, что функция определена для любого действительного числа $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

Область (множество) значений

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$. Из графика видно, что значения функции $y$ заключены между двумя горизонтальными асимптотами: $y = -\frac{\pi}{2}$ и $y = \frac{\pi}{2}$. График приближается к этим линиям, но никогда их не пересекает. Таким образом, все значения функции лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Четность (нечетность)

Чтобы определить четность функции, нужно проверить ее график на симметрию. График функции $y = \operatorname{arctg}x$ симметричен относительно начала координат (точки O). Это свойство характерно для нечетных функций, у которых выполняется условие $f(-x) = -f(x)$.

Ответ: функция нечетная.

Монотонность

Монотонность функции описывает ее поведение (возрастание или убывание) на области определения. На представленном графике видно, что при увеличении значения $x$ (при движении слева направо) значение $y$ всегда увеличивается. Следовательно, функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Наибольшее значение

Наибольшее значение функции — это максимальное значение $y$, которое она достигает. Функция $y = \operatorname{arctg}x$ ограничена сверху числом $\frac{\pi}{2}$, но никогда не достигает этого значения (поскольку $y = \frac{\pi}{2}$ является асимптотой). Таким образом, у функции нет наибольшего значения.

Ответ: наибольшего значения не существует.

Наименьшее значение

Наименьшее значение функции — это минимальное значение $y$, которое она достигает. Функция $y = \operatorname{arctg}x$ ограничена снизу числом $-\frac{\pi}{2}$, но никогда не достигает этого значения (поскольку $y = -\frac{\pi}{2}$ является асимптотой). Таким образом, у функции нет наименьшего значения.

Ответ: наименьшего значения не существует.

Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. На графике это точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$). Мы видим, что график функции $y = \operatorname{arctg}x$ пересекает ось $Ox$ в одной точке — начале координат $(0, 0)$. Это значит, что $y=0$ при $x=0$.

Ответ: $x = 0$.