Объясните, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему для построения графика функции $y = \arccos x$, используя график функции $y = \cos x$ (рис. 16.5), рассматривают только часть синусоиды (рис. 16.6)?

Рис. 16.5

Рис. 16.6

Функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $y = \cos x$. По определению, обратная функция $f^{-1}(x)$ может существовать только для такой функции $f(x)$, которая является взаимно-однозначной (или биективной). Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует уникальное значение функции $y$, и наоборот, каждому значению $y$ соответствует уникальное значение $x$.

Для выполнения этого условия функция должна быть строго монотонной на рассматриваемом интервале, то есть либо строго возрастать, либо строго убывать.

Рассмотрим график функции $y = \cos x$, представленный на рисунке 16.5. Это периодическая функция, и она не является монотонной на всей своей области определения. Например, одному и тому же значению $y=0$ соответствует бесконечное множество значений $x$: $\pi/2$, $3\pi/2$, $-\pi/2$, и так далее. Если бы мы попытались определить обратную функцию для всей косинусоиды, то, например, для значения $x=0$ обратная функция $\arccos(0)$ должна была бы принять сразу несколько значений, что противоречит самому определению функции.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо ограничить область определения $y = \cos x$ таким интервалом, на котором она будет монотонной и при этом будет принимать все свои возможные значения из отрезка $[-1, 1]$. По математическому соглашению для функции косинуса выбирают отрезок $[0, \pi]$.

Именно на этом отрезке $[0, \pi]$, как показано на рисунке 16.6, функция $y = \cos x$ строго убывает от $1$ до $-1$. На этом интервале каждому значению $y$ из отрезка $[-1, 1]$ соответствует единственное значение $x$ из отрезка $[0, \pi]$. Такое ограничение позволяет корректно определить обратную функцию $y = \arccos x$, у которой область определения будет $[-1, 1]$, а область значений — $[0, \pi]$.

Ответ: Для построения графика функции $y = \arccos x$, которая является обратной к функции $y = \cos x$, необходимо выбрать такой участок косинусоиды, на котором функция будет монотонной. Это необходимо, чтобы каждому значению $y$ соответствовало только одно значение $x$. Стандартным выбором является отрезок $[0, \pi]$, на котором функция $y = \cos x$ строго убывает и принимает все значения от $-1$ до $1$ ровно один раз. Это и позволяет корректно определить арккосинус как однозначную функцию.