Номер 15.24, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.24. Постройте график функции:

1) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = \sin \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$;

3) $y = 2\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

1) Построить график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$.

Для построения этого графика мы будем использовать преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

Данная функция имеет вид $y = f(x-c)$, где $f(x) = \sin x$ и $c = \frac{\pi}{3}$.

Это означает, что график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $\frac{\pi}{3}$ вправо, так как $c > 0$.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y = \sin x$. Это синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

2. Сдвигаем весь график на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = \sin x$ переходит в точку $(x + \frac{\pi}{3}, y)$.

Новые ключевые точки будут:

- Начало периода (пересечение с осью Ox в возрастании): $(0 + \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{\pi}{3}, 0)$.

- Максимум: $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{5\pi}{6}, 1)$.

- Пересечение с осью Ox в убывании: $(\pi + \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{4\pi}{3}, 0)$.

- Минимум: $(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, -1) = (\frac{11\pi}{6}, -1)$.

- Конец периода: $(2\pi + \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{7\pi}{3}, 0)$.

Амплитуда функции равна 1, период равен $2\pi$.

Ответ: График функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ является синусоидой, полученной сдвигом графика $y = \sin x$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо по оси Ox.

2) Построить график функции $y = \sin(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Для удобства анализа преобразуем выражение в скобках, вынеся коэффициент при $x$:

$y = \sin(2(x + \frac{\pi}{3}))$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований:

1. Сжатие графика $y = \sin x$ по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Это преобразование соответствует множителю 2 при $x$. Получаем функцию $y = \sin(2x)$. Период этой функции будет $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

2. Сдвиг полученного графика $y = \sin(2x)$ по горизонтали. Так как у нас в скобках $(x + \frac{\pi}{3})$, сдвиг происходит влево на $\frac{\pi}{3}$.

Итак, алгоритм построения:

1. Строим график $y = \sin x$.

2. Сжимаем его в 2 раза вдоль оси Ox, получаем график $y = \sin(2x)$ с периодом $\pi$.

3. Сдвигаем график $y = \sin(2x)$ на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox.

Найдем ключевые точки для одного периода. Один основной цикл синуса начинается, когда его аргумент равен 0, и заканчивается, когда аргумент равен $2\pi$.

$2x + \frac{2\pi}{3} = 0 \Rightarrow 2x = -\frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3}$ (начало периода).

$2x + \frac{2\pi}{3} = 2\pi \Rightarrow 2x = \frac{4\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3}$ (конец периода).

Действительно, длина периода: $\frac{2\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \pi$.

- Максимум (аргумент равен $\frac{\pi}{2}$): $2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{6} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12}$. Точка $(-\frac{\pi}{12}, 1)$.

- Нуль функции (аргумент равен $\pi$): $2x + \frac{2\pi}{3} = \pi \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$. Точка $(\frac{\pi}{6}, 0)$.

- Минимум (аргумент равен $\frac{3\pi}{2}$): $2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow 2x = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{12}$. Точка $(\frac{5\pi}{12}, -1)$.

Амплитуда функции равна 1.

Ответ: График функции $y = \sin(2x + \frac{2\pi}{3})$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали в 2 раза (период становится $\pi$) и последующего сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$.

3) Построить график функции $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{4})$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \cos x$ с помощью следующих преобразований:

1. Растяжение графика $y = \cos x$ по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза. Это преобразование соответствует множителю 2 перед функцией косинуса. Получаем функцию $y = 2\cos x$. Амплитуда этой функции становится равной 2, а область значений $E(y) = [-2, 2]$.

2. Сдвиг полученного графика $y = 2\cos x$ по горизонтали (вдоль оси Ox). Так как у нас в скобках $(x - \frac{\pi}{4})$, сдвиг происходит вправо на $\frac{\pi}{4}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график $y = \cos x$ (косинусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$).

2. Растягиваем его в 2 раза вдоль оси Oy, получаем график $y = 2\cos x$. Максимумы станут равны 2, минимумы -2.

3. Сдвигаем график $y = 2\cos x$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox.

Найдем ключевые точки для одного периода, сдвинув точки графика $y = 2\cos x$.

Ключевые точки для $y = 2\cos x$: $(0, 2)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -2)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 2)$.

Сдвигаем их на $\frac{\pi}{4}$ вправо:

- Максимум: $(0 + \frac{\pi}{4}, 2) = (\frac{\pi}{4}, 2)$.

- Пересечение с осью Ox: $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{3\pi}{4}, 0)$.

- Минимум: $(\pi + \frac{\pi}{4}, -2) = (\frac{5\pi}{4}, -2)$.

- Пересечение с осью Ox: $(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{7\pi}{4}, 0)$.

- Следующий максимум: $(2\pi + \frac{\pi}{4}, 2) = (\frac{9\pi}{4}, 2)$.

Период функции остался равен $2\pi$. Амплитуда равна 2.

Ответ: График функции $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения по вертикали в 2 раза (амплитуда становится 2) и последующего сдвига вправо на $\frac{\pi}{4}$.