Объясните, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как построили график функции $y=\arccos x$ (рис. 16.7)?

Рис. 16.7

График функции $y = \arccos x$ строится на основе графика функции $y = \cos x$, так как арккосинус является обратной функцией к косинусу. Построение основано на том, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

1. Изначально рассматривается функция $y = \cos x$. Эта функция периодическая, поэтому для нахождения обратной функции ее область определения необходимо ограничить. Выбирается такой промежуток, на котором функция будет монотонной (то есть либо только возрастать, либо только убывать). Стандартно для функции $y = \cos x$ выбирают отрезок $[0, \pi]$. На этом отрезке функция косинуса непрерывна и монотонно убывает от $1$ до $-1$. На рисунке этот участок графика показан жирной черной линией.

2. Область определения и область значений для обратной функции $y = \arccos x$ меняются местами по сравнению с исходной функцией $y = \cos x$ на отрезке $[0, \pi]$. Таким образом:

- Область определения функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

- Область значений функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[0, \pi]$.

3. Для построения графика $y = \arccos x$ (серая кривая на рисунке) необходимо симметрично отразить относительно прямой $y=x$ участок графика $y = \cos x$, соответствующий отрезку $[0, \pi]$. Это равносильно тому, что для каждой точки $(a, b)$ на графике косинуса, на график арккосинуса наносится точка с координатами $(b, a)$.

Рассмотрим ключевые точки:

- Точка $(0, 1)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(1, 0)$ на графике $y=\arccos x$.

- Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(0, \frac{\pi}{2})$ на графике $y=\arccos x$.

- Точка $(\pi, -1)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(-1, \pi)$ на графике $y=\arccos x$.

Соединив эти новые точки плавной кривой, мы и получаем график функции $y = \arccos x$.

Ответ: График функции $y = \arccos x$ построен путем симметричного отражения графика функции $y = \cos x$, взятого на отрезке $[0, \pi]$, относительно прямой $y=x$.