Объясните, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как построили график функции $y = \operatorname{arctg}x$ (рис. 16.11)?

График функции $y = \operatorname{arctg} x$ является графиком функции, обратной к функции $y = \operatorname{tg} x$. Построение графика обратной функции осуществляется на основе графика исходной функции. Процесс построения можно разбить на несколько шагов.

1. Выбор интервала монотонности для исходной функции.

Функция $y = \operatorname{tg} x$ периодическая и на всей своей области определения не является монотонной. Чтобы найти для нее обратную функцию, необходимо выделить интервал, на котором она либо только возрастает, либо только убывает. Стандартно для тангенса выбирают главный интервал монотонного возрастания: $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На этом промежутке, как показано на рис. 16.10, функция $y = \operatorname{tg} x$ строго возрастает и принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.

2. Использование свойства симметрии графиков взаимно обратных функций.

Основное свойство графиков взаимно обратных функций заключается в том, что они симметричны друг другу относительно прямой $y = x$ (биссектрисы I и III координатных четвертей). Таким образом, чтобы получить график функции $y = \operatorname{arctg} x$, нужно взять график функции $y = \operatorname{tg} x$, построенный на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, и выполнить его зеркальное отражение относительно прямой $y=x$.

3. Преобразование ключевых характеристик графика.

При симметричном отражении относительно прямой $y = x$ происходит следующее:

• Область определения исходной функции становится областью значений для обратной. Так как для $y = \operatorname{tg} x$ была взята область определения $D(\operatorname{tg}) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то для $y = \operatorname{arctg} x$ область значений будет $E(\operatorname{arctg}) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

• Область значений исходной функции становится областью определения для обратной. Область значений $y = \operatorname{tg} x$ на выбранном интервале $E(\operatorname{tg}) = (-\infty; +\infty)$, следовательно, для $y = \operatorname{arctg} x$ область определения будет $D(\operatorname{arctg}) = (-\infty; +\infty)$.

• Вертикальные асимптоты графика $y = \operatorname{tg} x$ (прямые $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$) преобразуются в горизонтальные асимптоты для графика $y = \operatorname{arctg} x$. Этими асимптотами становятся прямые $y = -\frac{\pi}{2}$ и $y = \frac{\pi}{2}$.

• Каждая точка $(a, b)$ на графике $y = \operatorname{tg} x$ переходит в точку $(b, a)$ на графике $y = \operatorname{arctg} x$. Например, точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в $(1, \frac{\pi}{4})$, а точка $(0, 0)$ остается на месте.

На рисунке 16.11 как раз и показан этот процесс: график $y = \operatorname{arctg} x$ получен как симметричное отражение графика $y = \operatorname{tg} x$ относительно прямой $y = x$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{arctg} x$ построили путем симметричного отражения графика функции $y = \operatorname{tg} x$ относительно прямой $y=x$. Для этого был взят основной фрагмент графика тангенса, определенный на интервале монотонности $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. В результате этого преобразования область определения и область значений функций поменялись местами, а вертикальные асимптоты $x = \pm\frac{\pi}{2}$ у тангенса превратились в горизонтальные асимптоты $y = \pm\frac{\pi}{2}$ у арктангенса.