Номер 16.3, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.3.

1) $y = \operatorname{arctg}2x;$

2) $y = \operatorname{arctg}(2x - 1);$

3) $y = 2 \operatorname{arctg}(2x - 1);$

4) $y = 2 - \operatorname{arcctg}(x - 2).$

1) Найдем производную функции $y = \operatorname{arctg}(2x)$. Это сложная функция, поэтому для нахождения производной $y'$ мы используем цепное правило (производная сложной функции).

Пусть $u = 2x$. Тогда $y = \operatorname{arctg}(u)$.

Производная внешней функции по промежуточному аргументу $u$: $(\operatorname{arctg}(u))' = \frac{1}{1 + u^2}$.

Производная внутренней функции по $x$: $(2x)' = 2$.

По цепному правилу, производная $y'$ равна произведению производных внешней и внутренней функций:

$y' = (\operatorname{arctg}(2x))' = \frac{1}{1 + (2x)^2} \cdot (2x)' = \frac{1}{1 + 4x^2} \cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{1 + 4x^2}$.

2) Найдем производную функции $y = \operatorname{arctg}(2x - 1)$, используя цепное правило.

Пусть $u = 2x - 1$. Тогда $y = \operatorname{arctg}(u)$.

Производная внешней функции: $(\operatorname{arctg}(u))' = \frac{1}{1 + u^2}$.

Производная внутренней функции: $(2x - 1)' = 2$.

Перемножаем производные:

$y' = (\operatorname{arctg}(2x - 1))' = \frac{1}{1 + (2x - 1)^2} \cdot (2x - 1)' = \frac{1}{1 + (4x^2 - 4x + 1)} \cdot 2 = \frac{2}{4x^2 - 4x + 2}$.

Сократив дробь на 2, получим окончательный вид:

$y' = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$.

3) Найдем производную функции $y = 2 \operatorname{arctg}(2x - 1)$. Используем правило для константы, умноженной на функцию, и цепное правило.

$y' = (2 \operatorname{arctg}(2x - 1))' = 2 \cdot (\operatorname{arctg}(2x - 1))'$.

Теперь найдем производную $(\operatorname{arctg}(2x - 1))'$. По цепному правилу:

$(\operatorname{arctg}(2x - 1))' = \frac{1}{1 + (2x - 1)^2} \cdot (2x-1)' = \frac{1}{1 + (4x^2 - 4x + 1)} \cdot 2 = \frac{2}{4x^2 - 4x + 2} = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$.

Подставим это обратно в выражение для $y'$:

$y' = 2 \cdot \frac{1}{2x^2 - 2x + 1} = \frac{2}{2x^2 - 2x + 1}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{2x^2 - 2x + 1}$.

4) Найдем производную функции $y = 2 - \operatorname{arcctg}(x - 2)$.

Используем правило дифференцирования разности: $y' = (2)' - (\operatorname{arcctg}(x - 2))'$.

Производная константы равна нулю: $(2)' = 0$.

Для нахождения производной $(\operatorname{arcctg}(x - 2))'$ используем цепное правило. Стандартная производная $(\operatorname{arcctg}(u))' = -\frac{1}{1 + u^2}$.

Пусть $u = x - 2$. Тогда $(u)' = (x - 2)' = 1$.

$(\operatorname{arcctg}(x - 2))' = -\frac{1}{1 + (x - 2)^2} \cdot (x - 2)' = -\frac{1}{1 + (x - 2)^2} \cdot 1 = -\frac{1}{1 + (x-2)^2}$.

Подставляем найденные производные в выражение для $y'$:

$y' = 0 - \left(-\frac{1}{1 + (x - 2)^2}\right) = \frac{1}{1 + (x - 2)^2}$.

Раскроем скобки в знаменателе для альтернативной формы ответа: $1 + (x - 2)^2 = 1 + x^2 - 4x + 4 = x^2 - 4x + 5$.

Ответ: $y' = \frac{1}{1 + (x - 2)^2}$ (или $y' = \frac{1}{x^2 - 4x + 5}$).