Номер 16.10, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.10. Постройте график функции:

1) $y = - \arcsin x$;

2) $y = 2 - \arcsin x$;

3) $y = 2 \arccos x$;

4) $y = - \arccos(-x)$.

1) Чтобы построить график функции $y = -\arcsin x$, мы будем использовать преобразования графика базовой функции $y_0 = \arcsin x$.

Сначала рассмотрим свойства и график функции $y_0 = \arcsin x$:

• Область определения: $D(y_0) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y_0) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
• Ключевые точки: $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$.
• Функция является возрастающей.

График функции $y = -\arcsin x$ получается из графика $y_0 = \arcsin x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Это преобразование меняет знак каждой ординаты точки графика.

Свойства функции $y = -\arcsin x$:

• Область определения остается неизменной: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений также остается неизменной: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
• Ключевые точки преобразуются следующим образом:
  • $(-1, -\frac{\pi}{2})$ переходит в $(-1, -(-\frac{\pi}{2}))$, то есть в точку $(-1, \frac{\pi}{2})$.
  • $(0, 0)$ переходит в $(0, -0)$, то есть остается на месте $(0, 0)$.
  • $(1, \frac{\pi}{2})$ переходит в $(1, -\frac{\pi}{2})$.
• Функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: График функции $y = -\arcsin x$ получается из графика функции $y = \arcsin x$ симметричным отражением относительно оси абсцисс.

2) Чтобы построить график функции $y = 2 - \arcsin x$, мы можем использовать график функции $y_1 = -\arcsin x$, построенный в предыдущем пункте.

Функция $y = 2 - \arcsin x$ может быть записана как $y = (-\arcsin x) + 2$. Это означает, что ее график получается из графика $y_1 = -\arcsin x$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Свойства функции $y = 2 - \arcsin x$:

• Область определения остается неизменной: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений $E(y_1) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ сдвигается на 2 вверх. Новая область значений: $E(y) = [2 - \frac{\pi}{2}, 2 + \frac{\pi}{2}]$.
• Ключевые точки графика $y_1 = -\arcsin x$ смещаются на 2 вверх:
  • $(-1, \frac{\pi}{2})$ переходит в $(-1, \frac{\pi}{2} + 2)$.
  • $(0, 0)$ переходит в $(0, 2)$.
  • $(1, -\frac{\pi}{2})$ переходит в $(1, -\frac{\pi}{2} + 2)$.
• Функция является убывающей, так как сдвиг не меняет монотонность.

Ответ: График функции $y = 2 - \arcsin x$ получается из графика функции $y = -\arcsin x$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

3) Чтобы построить график функции $y = 2 \arccos x$, мы будем использовать преобразования графика базовой функции $y_0 = \arccos x$.

Сначала рассмотрим свойства и график функции $y_0 = \arccos x$:

• Область определения: $D(y_0) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y_0) = [0, \pi]$.
• Ключевые точки: $(-1, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$.
• Функция является убывающей.

График функции $y = 2 \arccos x$ получается из графика $y_0 = \arccos x$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза. Это означает, что каждая ордината точки графика умножается на 2.

Свойства функции $y = 2 \arccos x$:

• Область определения остается неизменной: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений $E(y_0) = [0, \pi]$ растягивается в 2 раза. Новая область значений: $E(y) = [0, 2\pi]$.
• Ключевые точки преобразуются следующим образом:
  • $(-1, \pi)$ переходит в $(-1, 2\pi)$.
  • $(0, \frac{\pi}{2})$ переходит в $(0, 2 \cdot \frac{\pi}{2})$, то есть в точку $(0, \pi)$.
  • $(1, 0)$ переходит в $(1, 2 \cdot 0)$, то есть в точку $(1, 0)$.
• Функция является убывающей, так как коэффициент растяжения положителен.

Ответ: График функции $y = 2 \arccos x$ получается из графика функции $y = \arccos x$ растяжением в 2 раза вдоль оси ординат от оси абсцисс.

4) Чтобы построить график функции $y = -\arccos(-x)$, сначала упростим выражение, используя известное тождество для арккосинуса: $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

Подставим это тождество в нашу функцию:$y = -(\pi - \arccos x) = \arccos x - \pi$.

Теперь задача сводится к построению графика функции $y = \arccos x - \pi$. Этот график получается из графика базовой функции $y_0 = \arccos x$ путем параллельного переноса (сдвига) на $\pi$ единиц вниз вдоль оси ординат (оси Oy).

Свойства функции $y = \arccos x - \pi$:

• Область определения остается неизменной: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений $E(y_0) = [0, \pi]$ сдвигается на $\pi$ вниз. Новая область значений: $E(y) = [0 - \pi, \pi - \pi]$, то есть $E(y) = [-\pi, 0]$.
• Ключевые точки графика $y_0 = \arccos x$ смещаются на $\pi$ вниз:
  • $(-1, \pi)$ переходит в $(-1, \pi - \pi)$, то есть в точку $(-1, 0)$.
  • $(0, \frac{\pi}{2})$ переходит в $(0, \frac{\pi}{2} - \pi)$, то есть в точку $(0, -\frac{\pi}{2})$.
  • $(1, 0)$ переходит в $(1, 0 - \pi)$, то есть в точку $(1, -\pi)$.
• Функция является убывающей, так как сдвиг не меняет монотонность.

Ответ: График функции $y = -\arccos(-x)$ совпадает с графиком функции $y = \arccos x - \pi$ и получается из графика функции $y = \arccos x$ сдвигом на $\pi$ единиц вниз вдоль оси ординат.