Номер 16.6, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.6. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin\frac{1}{x}$;

2) $y = \arcsin\frac{1}{x-2}$;

3) $y = 2\arccos\frac{2}{x+2}$;

4) $y = 2 - \arccos\frac{1}{x-1}$.

1) Областью определения для функции арксинуса $y = \arcsin(u)$ является промежуток $[-1, 1]$, то есть аргумент $u$ должен удовлетворять двойному неравенству $-1 \le u \le 1$.

Для функции $y = \arcsin\frac{1}{x}$ аргументом является $u = \frac{1}{x}$. Следовательно, мы должны решить неравенство $-1 \le \frac{1}{x} \le 1$.

Это неравенство эквивалентно неравенству $|\frac{1}{x}| \le 1$. Также необходимо учесть, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \ne 0$.

Перепишем неравенство: $\frac{1}{|x|} \le 1$.

Поскольку $|x| > 0$ (так как $x \ne 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $|x|$, сохранив знак неравенства: $1 \le |x|$.

Неравенство $|x| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств:

$x \ge 1$ или $x \le -1$.

Таким образом, область определения функции — это объединение промежутков $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2) Для функции $y = \arcsin\frac{1}{x-2}$ аргументом является $u = \frac{1}{x-2}$. Область определения задается условием $-1 \le \frac{1}{x-2} \le 1$.

Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль, поэтому $x-2 \ne 0$, откуда $x \ne 2$.

Решим неравенство $|\frac{1}{x-2}| \le 1$.

Это равносильно $\frac{1}{|x-2|} \le 1$.

Так как $|x-2| > 0$, умножим на него обе части неравенства: $1 \le |x-2|$.

Неравенство $|x-2| \ge 1$ можно разбить на два случая:

а) $x-2 \ge 1 \implies x \ge 3$.

б) $x-2 \le -1 \implies x \le 1$.

Объединяя эти решения, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

3) Областью определения для функции арккосинуса $y = \arccos(u)$ также является промежуток $[-1, 1]$. Множитель $2$ перед функцией не влияет на область определения.

Для функции $y = 2\arccos\frac{2}{x+2}$ аргументом является $u = \frac{2}{x+2}$. Таким образом, должно выполняться условие $-1 \le \frac{2}{x+2} \le 1$.

Знаменатель дроби не равен нулю: $x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$.

Решим систему из двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{2}{x+2} \le 1 \\ \frac{2}{x+2} \ge -1 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$\frac{2}{x+2} - 1 \le 0 \implies \frac{2 - (x+2)}{x+2} \le 0 \implies \frac{-x}{x+2} \le 0$. Умножив на -1, получим $\frac{x}{x+2} \ge 0$.

Решением этого неравенства методом интервалов является $x \in (-\infty, -2) \cup [0, \infty)$.

Решаем второе неравенство:

$\frac{2}{x+2} + 1 \ge 0 \implies \frac{2 + (x+2)}{x+2} \ge 0 \implies \frac{x+4}{x+2} \ge 0$.

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -4] \cup (-2, \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty, -2) \cup [0, \infty)) \cap ((-\infty, -4] \cup (-2, \infty))$.

Пересечение этих множеств дает итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$.

4) Для функции $y = 2 - \arccos\frac{1}{x-1}$ константа $2$ и знак минус не влияют на область определения. Она определяется аргументом арккосинуса $u = \frac{1}{x-1}$.

Условие для аргумента: $-1 \le \frac{1}{x-1} \le 1$.

Знаменатель не равен нулю: $x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$.

Неравенство можно переписать в виде $|\frac{1}{x-1}| \le 1$, что равносильно $1 \le |x-1|$ (поскольку $|x-1| > 0$).

Неравенство $|x-1| \ge 1$ распадается на два случая:

а) $x-1 \ge 1 \implies x \ge 2$.

б) $x-1 \le -1 \implies x \le 0$.

Объединяя решения, находим область определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.