Номер 16.13, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.13. Найдите область значений функции:

1) $y = 2\text{arctg}x;$

2) $y = -\text{arcctg}x;$

3) $y = 2 - \text{arcctg}(-x);$

4) $y = -\text{arcctg}(-x).$

Для решения всех пунктов задачи необходимо знать область значений функции арккотангенс. Областью значений функции $f(t) = \text{arcctg}(t)$ является интервал $(0, \pi)$. Это означает, что для любого действительного аргумента $t$ выполняется строгое двойное неравенство $0 < \text{arcctg}(t) < \pi$.

1) $y = 2\text{arcctg}(x)$

Исходное неравенство для арккотангенса:

$0 < \text{arcctg}(x) < \pi$

Чтобы найти область значений функции $y = 2\text{arcctg}(x)$, необходимо умножить все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot 0 < 2 \cdot \text{arcctg}(x) < 2 \cdot \pi$

$0 < y < 2\pi$

Следовательно, область значений данной функции — это интервал $(0, 2\pi)$.

Ответ: $E(y) = (0, 2\pi)$.

2) $y = -\text{arcctg}(x)$

Возьмем за основу неравенство для области значений арккотангенса:

$0 < \text{arcctg}(x) < \pi$

Для нахождения области значений функции $y = -\text{arcctg}(x)$ умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 0 > -1 \cdot \text{arcctg}(x) > -1 \cdot \pi$

$0 > y > -\pi$

Запишем это неравенство в более привычном виде, поменяв местами левую и правую части:

$-\pi < y < 0$

Таким образом, область значений функции — это интервал $(-\pi, 0)$.

Ответ: $E(y) = (-\pi, 0)$.

3) $y = 2 - \text{arcctg}(-x)$

Сначала определим область значений выражения $\text{arcctg}(-x)$. Так как переменная $x$ может принимать любые действительные значения, то и выражение $-x$ также может принимать любые действительные значения. Следовательно, область значений $\text{arcctg}(-x)$ совпадает с областью значений $\text{arcctg}(x)$ и равна $(0, \pi)$.

Пусть $u = \text{arcctg}(-x)$, тогда $0 < u < \pi$.

Наша функция примет вид $y = 2 - u$.

Найдем область значений для $-u$, умножив неравенство для $u$ на -1:

$-\pi < -u < 0$

Теперь прибавим 2 ко всем частям полученного неравенства:

$2 - \pi < 2 - u < 2 + 0$

$2 - \pi < y < 2$

В качестве альтернативного решения можно использовать тождество $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$:

$y = 2 - (\pi - \text{arcctg}(x)) = 2 - \pi + \text{arcctg}(x)$

Так как $0 < \text{arcctg}(x) < \pi$, прибавим ко всем частям константу $(2 - \pi)$:

$0 + (2 - \pi) < \text{arcctg}(x) + (2 - \pi) < \pi + (2 - \pi)$

$2 - \pi < y < 2$

Область значений функции — это интервал $(2 - \pi, 2)$.

Ответ: $E(y) = (2 - \pi, 2)$.

4) $y = -\text{arcctg}(-x)$

Как и в пункте 3, область значений выражения $\text{arcctg}(-x)$ есть интервал $(0, \pi)$.

Пусть $u = \text{arcctg}(-x)$, тогда $0 < u < \pi$.

Функция имеет вид $y = -u$.

Умножим неравенство для $u$ на -1, не забывая изменить знаки неравенства на противоположные:

$-1 \cdot 0 > -1 \cdot u > -1 \cdot \pi$

$0 > y > -\pi$

Запишем в стандартном виде:

$-\pi < y < 0$

Также можно воспользоваться тождеством $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$:

$y = -(\pi - \text{arcctg}(x)) = \text{arcctg}(x) - \pi$

Зная, что $0 < \text{arcctg}(x) < \pi$, вычтем $\pi$ из всех частей неравенства:

$0 - \pi < \text{arcctg}(x) - \pi < \pi - \pi$

$-\pi < y < 0$

Область значений данной функции — это интервал $(-\pi, 0)$.

Ответ: $E(y) = (-\pi, 0)$.