Номер 16.19, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.19. Постройте график функции:

1) $y = [\sin x];$

2) $y = [\cos x];$

3) $y = [\sqrt{x}].$

1) $y = [\sin x]$

Функция $[a]$, называемая "целая часть числа" или "антье", возвращает наибольшее целое число, которое не превосходит $a$. Например, $[3.14] = 3$, $[5] = 5$, $[-1.5] = -2$.

Для построения графика функции $y = [\sin x]$ сначала проанализируем функцию $z = \sin x$. Область значений синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что значение выражения $[\sin x]$ может быть только одним из целых чисел: $-1$, $0$ или $1$.

Рассмотрим, при каких значениях $x$ функция $y$ принимает эти значения:

1. $y = 1$: Это происходит, когда $\sin x = 1$. Решением этого уравнения являются точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На графике это будут изолированные точки с ординатой 1.

2. $y = 0$: Это происходит, когда $0 \le \sin x < 1$. Неравенство $\sin x \ge 0$ выполняется на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Из этих отрезков нужно исключить точки, где $\sin x = 1$. Таким образом, $y=0$ при $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$ за исключением точек $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

3. $y = -1$: Это происходит, когда $-1 \le \sin x < 0$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$.

Функция является периодической с периодом $2\pi$. Построим её график на промежутке $[0, 2\pi)$.

- Если $x \in [0, \pi]$, то $\sin x \ge 0$. При этом $\sin x = 1$ только в точке $x = \pi/2$. Значит, на отрезке $[0, \pi]$ функция $y=[\sin x]$ равна 0, за исключением точки $x=\pi/2$, где она равна 1.

- Если $x \in (\pi, 2\pi)$, то $\sin x < 0$, следовательно, $-1 \le \sin x < 0$. Значит, на этом интервале $y=[\sin x]$ равна -1.

Ответ: График функции $y = [\sin x]$ является кусочно-постоянным. Он состоит из бесконечной последовательности следующих элементов:

• изолированных точек вида $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• горизонтальных отрезков на прямой $y=0$, заданных на объединении промежутков $[2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k]$.

• горизонтальных интервалов на прямой $y=-1$, заданных на промежутках $(\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1))$.

2) $y = [\cos x]$

Аналогично предыдущему пункту, используем определение функции "целая часть". Область значений функции $z = \cos x$ также является отрезком $[-1, 1]$, поэтому функция $y = [\cos x]$ может принимать только целые значения $-1$, $0$ и $1$.

Рассмотрим, при каких значениях $x$ достигаются эти значения:

1. $y = 1$: Это происходит, когда $\cos x = 1$. Решением являются точки $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На графике это изолированные точки.

2. $y = 0$: Это происходит, когда $0 \le \cos x < 1$. Неравенство $\cos x \ge 0$ выполняется на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$. Из этих отрезков нужно исключить точки, где $\cos x = 1$. Таким образом, $y=0$ при $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ за исключением точек $x = 2\pi k$.

3. $y = -1$: Это происходит, когда $-1 \le \cos x < 0$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.

Функция является периодической с периодом $2\pi$. Построим её график на промежутке $[0, 2\pi)$.

- При $x=0$ имеем $\cos 0 = 1$, так что $y=1$. Это точка $(0,1)$.

- Если $x \in (0, \pi/2]$, то $0 \le \cos x < 1$, следовательно $y=0$.

- Если $x \in (\pi/2, 3\pi/2)$, то $-1 \le \cos x < 0$, следовательно $y=-1$.

- Если $x \in [3\pi/2, 2\pi)$, то $0 \le \cos x < 1$, следовательно $y=0$.

Ответ: График функции $y = [\cos x]$ является кусочно-постоянным и представляет собой сдвинутую версию графика из предыдущего пункта. Он состоит из:

• изолированных точек вида $(2\pi k, 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• горизонтальных полуинтервалов и интервалов на прямой $y=0$, например, $(0, \pi/2]$ и $[3\pi/2, 2\pi)$ на периоде $[0, 2\pi)$.

• горизонтальных интервалов на прямой $y=-1$, например, $(\pi/2, 3\pi/2)$ на периоде $[0, 2\pi)$.График периодичен с периодом $2\pi$.

3) $y = [\sqrt{x}]$

Область определения функции $z = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Область значений — $z \ge 0$. Функция $y=[\sqrt{x}]$ будет принимать все целые неотрицательные значения $n \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$.

Найдем, при каких значениях $x$ функция $y$ принимает значение $n$, где $n$ — целое неотрицательное число.

Равенство $y = [\sqrt{x}] = n$ по определению целой части эквивалентно двойному неравенству:

$n \le \sqrt{x} < n+1$

Поскольку все части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы выразить $x$:

$n^2 \le (\sqrt{x})^2 < (n+1)^2$

$n^2 \le x < (n+1)^2$

Теперь мы можем построить график, придавая $n$ различные целые неотрицательные значения:

- Если $n=0$, то $y=0$ при $0^2 \le x < (0+1)^2$, то есть $0 \le x < 1$.

- Если $n=1$, то $y=1$ при $1^2 \le x < (1+1)^2$, то есть $1 \le x < 4$.

- Если $n=2$, то $y=2$ при $2^2 \le x < (2+1)^2$, то есть $4 \le x < 9$.

- Если $n=3$, то $y=3$ при $3^2 \le x < (3+1)^2$, то есть $9 \le x < 16$.

И так далее.

Ответ: График функции $y = [\sqrt{x}]$ представляет собой бесконечную совокупность горизонтальных отрезков ("ступенек"), расположенных друг над другом. Каждая ступенька начинается с целого значения на оси $y$ и простирается вправо. Для каждого целого $n \ge 0$, график представляет собой горизонтальный отрезок на высоте $y=n$ для значений $x$ из полуинтервала $[n^2, (n+1)^2)$. Левый конец отрезка, точка $(n^2, n)$, принадлежит графику, а правый конец, точка $((n+1)^2, n)$, — не принадлежит. Длина каждой следующей ступеньки увеличивается.