Объясните, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как выполнили преобразование $\text{ctg}(\text{arctg} a) = \frac{1}{\text{tg}(\text{arctg} a)} = \frac{1}{a}?$

Данное преобразование можно разбить на два последовательных шага, каждый из которых основан на определённых математических свойствах и определениях.

1. Преобразование котангенса в тангенс: $ctg(arctg(a)) = \frac{1}{tg(arctg(a))}$

Этот шаг основан на фундаментальном тригонометрическом тождестве, которое связывает котангенс и тангенс для любого угла $x$:$ctg(x) = \frac{1}{tg(x)}$Это тождество справедливо для всех углов $x$, для которых $tg(x)$ определён и не равен нулю.В нашем случае в качестве угла $x$ выступает выражение $arctg(a)$. Применяя к нему указанное выше тождество, мы получаем первую часть преобразования:$ctg(arctg(a)) = \frac{1}{tg(arctg(a))}$

Ответ: Первое равенство является прямым применением основного тригонометрического тождества $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)}$, где в качестве аргумента $x$ используется $arctg(a)$.

2. Упрощение выражения с обратной функцией: $\frac{1}{tg(arctg(a))} = \frac{1}{a}$

Этот шаг следует из определения арктангенса. Функция арктангенс ($y = arctg(x)$) является обратной к функции тангенс ($x = tg(y)$). По определению, $arctg(a)$ — это такой угол, тангенс которого равен $a$.Следовательно, если мы возьмём тангенс от арктангенса числа $a$, мы по определению получим само число $a$:$tg(arctg(a)) = a$Это является проявлением общего свойства для любой функции $f$ и её обратной функции $f^{-1}$: $f(f^{-1}(x)) = x$.Теперь мы можем подставить полученный результат ($a$) в знаменатель дроби из первого шага:$\frac{1}{tg(arctg(a))} = \frac{1}{a}$Важно отметить, что исходное выражение и все преобразования имеют смысл только при $a \neq 0$, так как в противном случае произошло бы деление на ноль.

Ответ: Второе равенство получено путём упрощения знаменателя, используя определение арктангенса как функции, обратной к тангенсу, что даёт тождество $tg(arctg(a)) = a$.