Номер 16.16, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.16. Постройте график функции и исследуйте ее на монотонность:

1) $y = |\text{arctg } x|;$

2) $y = |2 - \text{arctg } x|;$

3) $y = -2\text{arctg } |-x|;$

4) $y = |\text{arctg}x + \frac{\pi}{2}|.$

1) $y = |\text{arctg } x|$

Для построения графика функции $y = |\text{arctg } x|$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим график базовой функции $y_1 = \text{arctg } x$. Это возрастающая функция, определенная на всей числовой оси. Ее область значений $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. График проходит через начало координат. Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

2. График функции $y = |f(x)|$ получается из графика $y = f(x)$ следующим образом: часть графика, расположенная выше или на оси Ox, остается без изменений, а часть графика, расположенная ниже оси Ox, симметрично отражается относительно оси Ox.

Для функции $y_1 = \text{arctg } x$:

- При $x \ge 0$, имеем $\text{arctg } x \ge 0$. Следовательно, $|\text{arctg } x| = \text{arctg } x$. На этом промежутке график совпадает с графиком $y = \text{arctg } x$.

- При $x < 0$, имеем $\text{arctg } x < 0$. Следовательно, $|\text{arctg } x| = -\text{arctg } x$. На этом промежутке график получается отражением графика $y = \text{arctg } x$ относительно оси Ox.

Итоговый график состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(0, 0)$. График симметричен относительно оси Oy (функция четная). Горизонтальная асимптота при $x \to \pm\infty$ — это $y = \frac{\pi}{2}$.

Исследуем на монотонность.

- На промежутке $(-\infty, 0]$ функция задается формулой $y = -\text{arctg } x$. Ее производная $y' = - \frac{1}{1+x^2} < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

- На промежутке $[0, +\infty)$ функция задается формулой $y = \text{arctg } x$. Ее производная $y' = \frac{1}{1+x^2} > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

2) $y = |2 - \text{arcctg } x|$

Построим график, последовательно выполняя преобразования.

1. Базовая функция $y_1 = \text{arcctg } x$. Это убывающая функция, определенная на $\mathbb{R}$, с областью значений $(0; \pi)$.

2. Построим график $y_2 = -\text{arcctg } x$. Он получается отражением графика $y_1$ относительно оси Ox. Это возрастающая функция с областью значений $(-\pi; 0)$.

3. Построим график $y_3 = 2 - \text{arcctg } x$. Он получается сдвигом графика $y_2$ вверх на 2 единицы. Это возрастающая функция. Ее область значений $(2-\pi; 2)$. Горизонтальные асимптоты: $y = 2-\pi$ при $x \to -\infty$ и $y = 2$ при $x \to +\infty$.

4. Теперь построим график $y = |2 - \text{arcctg } x|$. Часть графика $y_3$, где $y_3 \ge 0$, остается без изменений. Часть, где $y_3 < 0$, отражается симметрично относительно оси Ox.

Найдем, где $y_3$ меняет знак: $2 - \text{arcctg } x = 0 \implies \text{arcctg } x = 2 \implies x = \text{ctg}(2)$. Так как $2 \in (0, \pi)$, такое значение $x$ существует. При $x \ge \text{ctg}(2)$, $\text{arcctg } x \le 2$, поэтому $2 - \text{arcctg } x \ge 0$. При $x < \text{ctg}(2)$, $\text{arcctg } x > 2$, поэтому $2 - \text{arcctg } x < 0$.

Таким образом, $y(x) = \begin{cases} 2 - \text{arcctg } x, & x \ge \text{ctg}(2) \\ \text{arcctg } x - 2, & x < \text{ctg}(2) \end{cases}$.

График имеет "излом" в точке $(\text{ctg}(2), 0)$. Горизонтальные асимптоты: $y = \pi - 2$ при $x \to -\infty$ и $y=2$ при $x \to +\infty$.

Исследуем на монотонность.

- На промежутке $(-\infty, \text{ctg}(2)]$ функция задается формулой $y = \text{arcctg } x - 2$. Ее производная $y' = -\frac{1}{1+x^2} < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

- На промежутке $[\text{ctg}(2), +\infty)$ функция задается формулой $y = 2 - \text{arcctg } x$. Ее производная $y' = -(-\frac{1}{1+x^2}) = \frac{1}{1+x^2} > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, \text{ctg}(2)]$ и возрастает на промежутке $[\text{ctg}(2), +\infty)$.

3) $y = -2\text{arcctg}|-x|$

Сначала упростим выражение. Так как $|-x| = |x|$, то функция имеет вид $y = -2\text{arcctg}|x|$.

Эта функция является четной, так как $y(-x) = -2\text{arcctg}|-x| = -2\text{arcctg}|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его симметрично.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = -2\text{arcctg}(x)$.

1. График $y_1 = \text{arcctg}(x)$ для $x \ge 0$ — это убывающая кривая, идущая из точки $(0, \frac{\pi}{2})$ и асимптотически приближающаяся к оси Ox при $x \to +\infty$.

2. График $y_2 = 2\text{arcctg}(x)$ получается растяжением графика $y_1$ в 2 раза вдоль оси Oy. Кривая идет из точки $(0, \pi)$.

3. График $y = -2\text{arcctg}(x)$ получается отражением графика $y_2$ относительно оси Ox. Для $x \ge 0$ это возрастающая кривая, идущая из точки $(0, -\pi)$ и асимптотически приближающаяся к оси Ox ($y=0$) при $x \to +\infty$.

Отражая эту часть графика относительно оси Oy, получаем вторую ветвь для $x < 0$. Она убывает от асимптоты $y=0$ при $x \to -\infty$ до точки минимума $(0, -\pi)$.

Исследуем на монотонность.

- При $x < 0$, $y = -2\text{arcctg}(-x)$. Производная $y' = -2 \cdot \left(-\frac{1}{1+(-x)^2}\right) \cdot (-1) = -\frac{2}{1+x^2} < 0$. Функция убывает на $(-\infty, 0]$.

- При $x > 0$, $y = -2\text{arcctg}(x)$. Производная $y' = -2 \cdot \left(-\frac{1}{1+x^2}\right) = \frac{2}{1+x^2} > 0$. Функция возрастает на $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

4) $y = |\text{arctg } x + \frac{\pi}{2}|$

Рассмотрим выражение под знаком модуля: $f(x) = \text{arctg } x + \frac{\pi}{2}$.

Область значений функции $y_1 = \text{arctg } x$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Это означает, что $-\frac{\pi}{2} < \text{arctg } x < \frac{\pi}{2}$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{2}$:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} < \text{arctg } x + \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

$0 < \text{arctg } x + \frac{\pi}{2} < \pi$

Таким образом, выражение $\text{arctg } x + \frac{\pi}{2}$ всегда положительно. Следовательно, модуль можно опустить:

$y = |\text{arctg } x + \frac{\pi}{2}| = \text{arctg } x + \frac{\pi}{2}$.

График этой функции получается из графика $y = \text{arctg } x$ сдвигом вверх на $\frac{\pi}{2}$.

Функция $y = \text{arctg } x$ является возрастающей на всей своей области определения. Сдвиг вверх не меняет характера монотонности.

Исследуем на монотонность с помощью производной:

$y' = (\text{arctg } x + \frac{\pi}{2})' = \frac{1}{1+x^2}$.

Поскольку $x^2 \ge 0$, то $1+x^2 > 0$, и, следовательно, $y' = \frac{1}{1+x^2} > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Значит, функция возрастает на всей числовой оси.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$.