Номер 16.15, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.15. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} \arccos x, & \text{если } |x| \le 0, \\ \sqrt{|x|}, & \text{если } |x| > 0; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} \operatorname{arctg} x, & \text{если } x \le 0, \\ \sqrt{x-1}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

1) Рассмотрим данную кусочно-заданную функцию: $y = \begin{cases} \arccos x, & \text{если } |x| \le 0 \\ \sqrt{|x|}, & \text{если } |x| > 0 \end{cases}$.

Сначала проанализируем условия, при которых задана каждая часть функции.

Первое условие: $|x| \le 0$. Модуль числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство выполняется только в одном случае: когда $|x| = 0$, то есть $x=0$. Таким образом, первая часть функции определена только в одной точке.

При $x=0$ значение функции равно $y = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$. Это точка на графике с координатами $(0, \frac{\pi}{2})$.

Второе условие: $|x| > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$. То есть, для $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

При $x \neq 0$ функция задается формулой $y = \sqrt{|x|}$.

Разобьем эту часть на два случая:

- Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это график стандартной функции квадратного корня, ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График проходит через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$. При $x \to 0^+$, $y \to 0$.

- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{-x}$. Этот график является зеркальным отражением графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy. График проходит через точки $(-1, 1)$, $(-4, 2)$. При $x \to 0^-$, $y \to 0$.

Для построения итогового графика объединим полученные результаты:

1. На координатной плоскости отмечаем изолированную точку $(0, \frac{\pi}{2})$. Поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.

2. Для всех $x > 0$ строим график функции $y = \sqrt{x}$.

3. Для всех $x < 0$ строим график функции $y = \sqrt{-x}$.

4. В точке $x=0$ на графике функции $y = \sqrt{|x|}$ будет разрыв (выколотая точка), так как эта функция не определена в нуле по второму условию. Эта выколотая точка находится в начале координат $(0, 0)$.

Итоговый график состоит из двух ветвей функции $y = \sqrt{|x|}$ с выколотой точкой в начале координат и одной изолированной точки $(0, \frac{\pi}{2})$.

Ответ: График функции состоит из графика функции $y = \sqrt{|x|}$ при $x \neq 0$ (две ветви, симметричные относительно оси Oy) и отдельной точки $(0, \frac{\pi}{2})$.

2) Рассмотрим данную кусочно-заданную функцию: $y = \begin{cases} \operatorname{arctg} x, & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{\sqrt{x}} - 1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

Построим график, анализируя каждую часть функции отдельно.

Часть 1: $y = \operatorname{arctg} x$ при $x \le 0$.

Это часть графика функции арктангенс, расположенная в левой полуплоскости, включая ось ординат.

- Область определения этого куска: $(-\infty, 0]$.

- График проходит через точку $(0, \operatorname{arctg} 0) = (0, 0)$. Эта точка является концом данной части графика.

- При $x \to -\infty$, значение функции стремится к $-\frac{\pi}{2}$. Следовательно, прямая $y = -\frac{\pi}{2}$ является горизонтальной асимптотой для этой части графика.

- Контрольная точка: при $x=-1$, $y = \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Часть 2: $y = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$ при $x > 0$.

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ сдвигом на 1 единицу вниз по оси Oy.

- Область определения этого куска: $(0, \infty)$.

- Поведение на границе области определения: при $x \to 0^+$, $\sqrt{x} \to 0^+$, $\frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$, значит $y \to +\infty$. Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

- Поведение на бесконечности: при $x \to +\infty$, $\sqrt{x} \to +\infty$, $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$, значит $y \to 0-1 = -1$. Прямая $y = -1$ является горизонтальной асимптотой для этой части графика.

- Найдем точку пересечения с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x=1$. Точка пересечения — $(1, 0)$.

Объединение графиков:

1. Для $x \le 0$ рисуем кривую, которая начинается от горизонтальной асимптоты $y = -\frac{\pi}{2}$ слева, возрастает, проходит через точку $(-1, -\frac{\pi}{4})$ и заканчивается в точке $(0, 0)$.

2. Для $x > 0$ рисуем кривую, которая уходит в $+\infty$ при приближении к оси Oy справа, убывает, пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$ и приближается к горизонтальной асимптоте $y = -1$ при $x \to +\infty$.

В точке $x=0$ функция имеет разрыв. Слева значение функции равно 0, а справа она стремится к $+\infty$.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Для $x \le 0$ это график $y = \operatorname{arctg} x$, который начинается от асимптоты $y = -\pi/2$ и доходит до точки $(0,0)$. Для $x > 0$ это график $y = \frac{1}{\sqrt{x}}-1$, который имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=-1$. В точке $x=0$ происходит разрыв.