Номер 16.8, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.8. Используя график функции $y = \arccos x$, расположите выражения в порядке возрастания их значений:

1) $\arccos\frac{\pi}{6}$; $\arccos 0.8$; $\arccos (-0.2)$;

2) $\arccos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$; $\arccos 0.9$; $\arccos (-0.1)$;

3) $\arccos 0$; $\arccos 0.3$; $\arccos (-0.7)$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство функции $y = \arccos x$. Эта функция определена на отрезке $[-1, 1]$ и является строго убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[-1, 1]$, если $x_1 < x_2$, то $\arccos x_1 > \arccos x_2$. Иными словами, чем больше аргумент, тем меньше значение функции.

Чтобы расположить значения арккосинусов в порядке возрастания, нам нужно расположить их аргументы в порядке убывания.

1) Расположим в порядке возрастания выражения $\arccos\frac{\pi}{6}$; $\arccos0,8$; $\arccos(-0,2)$.

Аргументы данных функций: $x_1 = \frac{\pi}{6}$, $x_2 = 0,8$, $x_3 = -0,2$.

Оценим значение $\frac{\pi}{6}$, используя $\pi \approx 3,14$: $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,14}{6} \approx 0,523$.

Теперь сравним аргументы: $-0,2 < 0,523 < 0,8$. Таким образом, $x_3 < x_1 < x_2$.

Поскольку функция $y = \arccos x$ убывающая, для значений функции будет выполняться обратное неравенство: $\arccos(-0,2) > \arccos(\frac{\pi}{6}) > \arccos(0,8)$.

Расположив выражения в порядке возрастания (от меньшего к большему), получаем: $\arccos 0,8$; $\arccos \frac{\pi}{6}$; $\arccos(-0,2)$.

Ответ: $\arccos 0,8$; $\arccos \frac{\pi}{6}$; $\arccos(-0,2)$.

2) Расположим в порядке возрастания выражения $\arccos(-\frac{\pi}{3})$; $\arccos0,9$; $\arccos(-0,1)$.

Рассмотрим аргумент первого выражения: $x_1 = -\frac{\pi}{3}$. Используя $\pi \approx 3,14$, получаем $x_1 \approx -\frac{3,14}{3} \approx -1,047$.

Область определения функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Поскольку $-1,047 < -1$, значение $x_1$ не входит в область определения функции. Следовательно, выражение $\arccos(-\frac{\pi}{3})$ не определено, и расположить данные выражения в порядке возрастания невозможно.

Однако, можно предположить, что в условии задачи допущена опечатка, и имелось в виду выражение $\arccos(\cos(-\frac{\pi}{3}))$. В этом случае решение будет следующим:

Находим значение аргумента: $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь нам нужно сравнить аргументы: $0,5$; $0,9$; $-0,1$.

Расположим их в порядке убывания: $0,9 > 0,5 > -0,1$.

Так как функция $y = \arccos x$ убывающая, значения арккосинусов будут расположены в порядке возрастания: $\arccos(0,9) < \arccos(0,5) < \arccos(-0,1)$.

Ответ: Если считать, что в выражении $\arccos(-\frac{\pi}{3})$ допущена опечатка и оно должно читаться как $\arccos(\cos(-\frac{\pi}{3}))$, то порядок возрастания следующий: $\arccos 0,9$; $\arccos(\cos(-\frac{\pi}{3}))$; $\arccos(-0,1)$.

3) Расположим в порядке возрастания выражения $\arccos0$; $\arccos0,3$; $\arccos(-0,7)$.

Аргументы данных функций: $x_1 = 0$, $x_2 = 0,3$, $x_3 = -0,7$.

Все аргументы принадлежат области определения $[-1, 1]$.

Расположим аргументы в порядке убывания: $0,3 > 0 > -0,7$.

Поскольку функция $y = \arccos x$ убывающая, для значений функции будет выполняться неравенство в том же порядке, что и для убывающих аргументов, т.е. значения будут идти по возрастанию: $\arccos(0,3) < \arccos(0) < \arccos(-0,7)$.

Таким образом, выражения в порядке возрастания их значений располагаются так: $\arccos 0,3$; $\arccos 0$; $\arccos(-0,7)$.

Ответ: $\arccos 0,3$; $\arccos 0$; $\arccos(-0,7)$.