Номер 16.1, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите область определения функций (16.1–16.3):

16.1.1) $y = \arcsin(2x);$

2) $y = \arcsin(2x - 1);$

3) $y = 2\arcsin(2x + 1);$

4) $y = 2 - \arcsin(x + 2).$

16.1.1) $y = \arcsin(2x)$

Область определения функции $y = \arcsin(u)$ задается условием $|u| \le 1$, что эквивалентно двойному неравенству $-1 \le u \le 1$. В данном случае аргументом арксинуса является выражение $2x$. Следовательно, для нахождения области определения функции необходимо решить неравенство:

$-1 \le 2x \le 1$

Разделим все части этого неравенства на 2:

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

Таким образом, областью определения функции является отрезок $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

Ответ: $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$

2) $y = \arcsin(2x - 1)$

Область определения функции арксинус требует, чтобы ее аргумент находился в пределах от -1 до 1 включительно. В данном случае аргумент равен $2x - 1$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$-1 \le 2x - 1 \le 1$

Прибавим ко всем частям неравенства 1:

$-1 + 1 \le 2x - 1 + 1 \le 1 + 1$

$0 \le 2x \le 2$

Разделим все части неравенства на 2:

$0 \le x \le 1$

Следовательно, областью определения функции является отрезок $[0; 1]$.

Ответ: $[0; 1]$

3) $y = 2\arcsin(2x + 1)$

Множитель 2 перед функцией арксинуса влияет на область значений функции, но не на ее область определения. Область определения зависит только от аргумента арксинуса, который должен быть в пределах от -1 до 1. Аргумент равен $2x + 1$.

$-1 \le 2x + 1 \le 1$

Вычтем из всех частей неравенства 1:

$-1 - 1 \le 2x + 1 - 1 \le 1 - 1$

$-2 \le 2x \le 0$

Разделим все части неравенства на 2:

$-1 \le x \le 0$

Таким образом, областью определения функции является отрезок $[-1; 0]$.

Ответ: $[-1; 0]$

4) $y = 2 - \arcsin(x + 2)$

Постоянное слагаемое 2 и знак минус перед функцией арксинуса не влияют на область определения. Она определяется только условием, накладываемым на аргумент функции $\arcsin$, который равен $x + 2$.

$-1 \le x + 2 \le 1$

Вычтем из всех частей неравенства 2:

$-1 - 2 \le x + 2 - 2 \le 1 - 2$

$-3 \le x \le -1$

Следовательно, областью определения функции является отрезок $[-3; -1]$.

Ответ: $[-3; -1]$