Номер 16.5, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.5. Найдите множество значений функции:

1) $y = -1 + \arccos(3x - 1);$

2) $y = \arcsin(2x - 1) + 1;$

3) $y = 2 - \arccos(2x + 3);$

4) $y = 2 - 2\arcsin(x - 3).$

1) Для нахождения множества значений функции $y = -1 + \arccos(3x - 1)$ воспользуемся свойством функции арккосинус, множество значений которой есть отрезок $[0, \pi]$. Это означает, что для любого $t$ из области определения функции $\arccos(t)$, выполняется неравенство $0 \le \arccos(t) \le \pi$. В нашем случае $t = 3x - 1$, поэтому $0 \le \arccos(3x - 1) \le \pi$. Далее, чтобы получить выражение для $y$, вычтем 1 из всех частей двойного неравенства: $0 - 1 \le \arccos(3x - 1) - 1 \le \pi - 1$. В результате получаем $-1 \le y \le \pi - 1$. Ответ: $E(y) = [-1, \pi - 1]$.

2) Для нахождения множества значений функции $y = \arcsin(2x - 1) + 1$ воспользуемся свойством функции арксинус, множество значений которой есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, для любого допустимого $x$ выполняется двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(2x - 1) \le \frac{\pi}{2}$. Чтобы из центральной части неравенства получить $y$, необходимо прибавить 1. Выполним это действие со всеми частями неравенства: $-\frac{\pi}{2} + 1 \le \arcsin(2x - 1) + 1 \le \frac{\pi}{2} + 1$. В результате получаем $1 - \frac{\pi}{2} \le y \le 1 + \frac{\pi}{2}$. Ответ: $E(y) = [1 - \frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2}]$.

3) Для нахождения множества значений функции $y = 2 - \arccos(2x + 3)$ воспользуемся свойством функции арккосинус, множество значений которой есть отрезок $[0, \pi]$. Таким образом, $0 \le \arccos(2x + 3) \le \pi$. Преобразуем это неравенство. Сначала умножим все части на -1, что изменит знаки неравенства на противоположные: $0 \ge -\arccos(2x + 3) \ge -\pi$. Запишем это в стандартном виде: $-\pi \le -\arccos(2x + 3) \le 0$. Теперь, чтобы получить $y$, прибавим 2 ко всем частям: $2 - \pi \le 2 - \arccos(2x + 3) \le 2 + 0$. В результате получаем $2 - \pi \le y \le 2$. Ответ: $E(y) = [2 - \pi, 2]$.

4) Для нахождения множества значений функции $y = 2 - 2\arcsin(x - 3)$ воспользуемся свойством функции арксинус, множество значений которой есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x - 3) \le \frac{\pi}{2}$. Преобразуем это неравенство. Сначала умножим все части на -2. Так как множитель отрицательный, знаки неравенства изменятся на противоположные: $(-\frac{\pi}{2}) \cdot (-2) \ge -2\arcsin(x - 3) \ge (\frac{\pi}{2}) \cdot (-2)$, что равносильно $\pi \ge -2\arcsin(x - 3) \ge -\pi$. Запишем это в стандартном виде: $-\pi \le -2\arcsin(x - 3) \le \pi$. Теперь, чтобы получить $y$, прибавим 2 ко всем частям: $2 - \pi \le 2 - 2\arcsin(x - 3) \le 2 + \pi$. В результате получаем $2 - \pi \le y \le 2 + \pi$. Ответ: $E(y) = [2 - \pi, 2 + \pi]$.