Номер 16.9, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.9. Исследуйте на четность функцию:

1) $y = 2 - \arcsin \frac{1}{x}$;

2) $y = 2x^2 - \arcsin x^2$;

3) $y = 2 \arccos \frac{2}{x^2+1}$;

4) $y = 2 \arccos \frac{1}{x+1}$.

1) $y = 2 - \arcsin\frac{1}{x}$

Для исследования функции на четность необходимо сначала найти ее область определения $D(y)$. Аргумент функции арксинус должен находиться в пределах от $-1$ до $1$.

$-1 \le \frac{1}{x} \le 1$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{1}{x} \le 1 \\ \frac{1}{x} \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{1-x}{x} \le 0 \\ \frac{1+x}{x} \ge 0 \end{cases}$

Решая эти неравенства методом интервалов, получаем:

Для первого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.

Для второго неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup (0, +\infty)$.

Пересечение этих множеств дает область определения: $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Эта область определения является симметричной относительно начала координат (если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$).

Теперь найдем $y(-x)$:

$y(-x) = 2 - \arcsin\frac{1}{-x} = 2 - \arcsin(-\frac{1}{x})$.

Используя свойство нечетности арксинуса, $\arcsin(-u) = -\arcsin(u)$, получаем:

$y(-x) = 2 - (-\arcsin\frac{1}{x}) = 2 + \arcsin\frac{1}{x}$.

Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:

$y(-x) = 2 + \arcsin\frac{1}{x} \ne y(x) = 2 - \arcsin\frac{1}{x}$ (равенство выполняется только при $\arcsin\frac{1}{x}=0$, что невозможно, так как $x \ne \infty$).

$y(-x) = 2 + \arcsin\frac{1}{x} \ne -y(x) = -(2 - \arcsin\frac{1}{x}) = -2 + \arcsin\frac{1}{x}$ (равенство $2=-2$ неверно).

Так как не выполняется ни условие четности $y(-x) = y(x)$, ни условие нечетности $y(-x) = -y(x)$, функция является функцией общего вида.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.

2) $y = 2x^2 - \arcsin{x^2}$

Найдем область определения функции $D(y)$. Аргумент арксинуса должен быть в промежутке $[-1, 1]$.

$-1 \le x^2 \le 1$.

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, неравенство сводится к $0 \le x^2 \le 1$, что равносильно $x^2 \le 1$.

Отсюда следует, что $-1 \le x \le 1$. Область определения $D(y) = [-1, 1]$.

Эта область симметрична относительно начала координат.

Теперь найдем $y(-x)$:

$y(-x) = 2(-x)^2 - \arcsin((-x)^2) = 2x^2 - \arcsin(x^2)$.

Сравнивая $y(-x)$ с $y(x)$, видим, что $y(-x) = y(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

3) $y = 2 \arccos\frac{2}{x^2 + 1}$

Найдем область определения функции $D(y)$. Аргумент арккосинуса должен быть в промежутке $[-1, 1]$.

$-1 \le \frac{2}{x^2 + 1} \le 1$.

Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен (больше или равен 1). Поэтому дробь $\frac{2}{x^2 + 1}$ всегда положительна. Таким образом, левая часть неравенства, $-1 \le \frac{2}{x^2 + 1}$, выполняется всегда.

Остается решить неравенство $\frac{2}{x^2 + 1} \le 1$.

Так как $x^2+1 > 0$, можем умножить обе части на $x^2+1$:

$2 \le x^2 + 1$

$1 \le x^2$

Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Область определения $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ симметрична относительно начала координат.

Теперь найдем $y(-x)$:

$y(-x) = 2 \arccos\frac{2}{(-x)^2 + 1} = 2 \arccos\frac{2}{x^2 + 1}$.

Сравнивая $y(-x)$ с $y(x)$, видим, что $y(-x) = y(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

4) $y = 2 \arccos\frac{1}{x + 1}$

Найдем область определения функции $D(y)$. Аргумент арккосинуса должен быть в промежутке $[-1, 1]$, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$-1 \le \frac{1}{x + 1} \le 1$ и $x+1 \ne 0$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} \frac{1}{x+1} \le 1 \\ \frac{1}{x+1} \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{1-(x+1)}{x+1} \le 0 \\ \frac{1+(x+1)}{x+1} \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{-x}{x+1} \le 0 \\ \frac{x+2}{x+1} \ge 0 \end{cases}$

Решая первое неравенство $\frac{x}{x+1} \ge 0$, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup [0, +\infty)$.

Решая второе неравенство $\frac{x+2}{x+1} \ge 0$, получаем $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, +\infty)$.

Пересечением этих двух множеств является $D(y) = (-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$.

Проверим область определения на симметричность. Возьмем точку $x=1 \in D(y)$. Противоположная ей точка $-x = -1$. Точка $-1$ не принадлежит области определения $D(y)$.

Поскольку область определения функции не является симметричной относительно начала координат, функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.