Номер 16.14, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.14. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} \text{arctg } x, & \text{если } x \le 0; \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} \text{arcctg } x, & \text{если } x \le 1, \\ \sqrt{x-1}, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

1) Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} \arctan(x), & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Для построения графика этой функции рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \le 0$, функция имеет вид $y = \arctan(x)$.

Это график функции арктангенс для неположительных значений аргумента.

- Область значений для этой части: $(-\pi/2, 0]$.

- График проходит через точку $(0, 0)$, так как $\arctan(0) = 0$.

- Другая контрольная точка: при $x = -1$, $y = \arctan(-1) = -\pi/4$.

- При $x \to -\infty$, $y \to -\pi/2$. Следовательно, прямая $y = -\pi/2$ является горизонтальной асимптотой графика слева.

- На промежутке $(-\infty, 0]$ функция возрастает.

2. При $x > 0$, функция имеет вид $y = \sqrt{x}$.

Это стандартный график функции квадратного корня для положительных значений аргумента.

- График представляет собой верхнюю ветвь параболы $x = y^2$.

- Предел функции при $x \to 0^+$ равен $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$.

- Контрольные точки: $(1, 1)$, $(4, 2)$.

- На промежутке $(0, \infty)$ функция возрастает.

3. Сшивка графиков в точке $x = 0$.

- Значение функции в точке $x=0$ определяется первой формулой: $f(0) = \arctan(0) = 0$.

- Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \arctan(x) = 0$.

- Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции в точке $x=0$, функция непрерывна в этой точке.

Ответ: График функции состоит из двух частей, плавно соединяющихся в точке (0, 0). При $x \le 0$ это часть графика $y=\arctan(x)$, которая приближается к асимптоте $y=-\pi/2$ при $x \to -\infty$ и доходит до начала координат. При $x > 0$ это ветвь параболы $y=\sqrt{x}$, выходящая из начала координат и проходящая через точки (1, 1) и (4, 2).

2) Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} \operatorname{arccot}(x), & \text{если } x \le 1 \\ \sqrt{x-1}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Для построения графика этой функции рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \le 1$, функция имеет вид $y = \operatorname{arccot}(x)$.

Это график функции арккотангенс на промежутке $(-\infty, 1]$.

- Область значений для этой части: $[\pi/4, \pi)$.

- Граничная точка: при $x = 1$, $y = \operatorname{arccot}(1) = \pi/4$. Точка $(1, \pi/4)$ принадлежит графику.

- Другие контрольные точки: при $x=0$, $y=\operatorname{arccot}(0)=\pi/2$; при $x=-1$, $y=\operatorname{arccot}(-1)=3\pi/4$.

- При $x \to -\infty$, $y \to \pi$. Следовательно, прямая $y = \pi$ является горизонтальной асимптотой графика слева.

- На промежутке $(-\infty, 1]$ функция убывает.

2. При $x > 1$, функция имеет вид $y = \sqrt{x-1}$.

Это график функции квадратного корня, сдвинутый на 1 единицу вправо.

- График представляет собой верхнюю ветвь параболы $x-1 = y^2$.

- Предел функции при $x \to 1^+$ равен $\lim_{x \to 1^+} \sqrt{x-1} = 0$. Точка $(1, 0)$ является началом этой части графика, но сама точка не включается (она "выколота").

- Контрольные точки: $(2, 1)$ (т.к. $\sqrt{2-1}=1$), $(5, 2)$ (т.к. $\sqrt{5-1}=2$).

- На промежутке $(1, \infty)$ функция возрастает.

3. Сшивка графиков в точке $x = 1$.

- Значение функции в точке $x=1$ определяется первой формулой: $f(1) = \operatorname{arccot}(1) = \pi/4$.

- Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \operatorname{arccot}(x) = \pi/4$.

- Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \sqrt{x-1} = 0$.

Так как предел слева не равен пределу справа ($\pi/4 \neq 0$), функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=1$.

Ответ: График функции состоит из двух несвязанных частей. При $x \le 1$ это часть графика $y=\operatorname{arccot}(x)$, которая приближается к асимптоте $y=\pi$ при $x \to -\infty$ и заканчивается в точке $(1, \pi/4)$. При $x > 1$ это ветвь параболы $y=\sqrt{x-1}$, которая начинается из выколотой точки $(1, 0)$ и уходит вверх и вправо, проходя через точки (2, 1) и (5, 2). В точке $x=1$ происходит скачок.