Объясните, страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как выполнили преобразование $sin(\arccos a) = \sqrt{1 - (\cos(\arccos a))^2} = \sqrt{1 - a^2}$?

Данное преобразование основано на двух ключевых моментах: основном тригонометрическом тождестве и определении обратной тригонометрической функции арккосинус. Давайте разберем преобразование по шагам.

Шаг 1: Преобразование sin(arccos a) в выражение с косинусом

В основе этого шага лежит основное тригонометрическое тождество:

$sin^2(x) + cos^2(x) = 1$

Из этого тождества мы можем выразить синус через косинус:

$sin^2(x) = 1 - cos^2(x)$

$sin(x) = \pm\sqrt{1 - cos^2(x)}$

Теперь подставим в эту формулу вместо $x$ наше выражение $arccos(a)$. Получаем:

$sin(arccos(a)) = \pm\sqrt{1 - (cos(arccos(a)))^2}$

Чтобы определить, какой знак выбрать (плюс или минус), нужно посмотреть на область значений функции арккосинус. По определению, $arccos(a)$ возвращает угол в диапазоне от $0$ до $\pi$.

$0 \le arccos(a) \le \pi$

Синус любого угла в этом диапазоне (в первой и второй координатных четвертях) является неотрицательным числом, то есть $sin(x) \ge 0$ для $x \in [0, \pi]$. Следовательно, мы должны выбрать знак «плюс» перед корнем:

$sin(arccos(a)) = \sqrt{1 - (cos(arccos(a)))^2}$

Это и есть первое равенство в цепочке преобразований.

Шаг 2: Упрощение выражения под корнем

Второе равенство основано на определении арккосинуса как функции, обратной косинусу. По определению, для любого $a$ из области определения арккосинуса (то есть при $a \in [-1, 1]$) справедливо равенство:

$cos(arccos(a)) = a$

Это означает, что косинус от арккосинуса числа $a$ есть само число $a$.

Теперь мы можем подставить это значение в формулу, полученную на первом шаге:

$\sqrt{1 - (cos(arccos(a)))^2} = \sqrt{1 - (a)^2} = \sqrt{1 - a^2}$

Это объясняет второе равенство.

Итог:

Соединяя оба шага, мы получаем полную цепочку преобразований:

$sin(arccos(a)) = \sqrt{1 - (cos(arccos(a)))^2} = \sqrt{1 - a^2}$

Ответ: Преобразование выполнено с использованием основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ и определения обратной функции $cos(arccos(a)) = a$. Знак «плюс» перед корнем выбран потому, что область значений $arccos(a)$ — это $[0, \pi]$, где синус неотрицателен.