Страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как выполнили преобразование $sin(\arccos a) = \sqrt{1 - (\cos(\arccos a))^2} = \sqrt{1 - a^2}$?

Данное преобразование основано на двух ключевых моментах: основном тригонометрическом тождестве и определении обратной тригонометрической функции арккосинус. Давайте разберем преобразование по шагам.

Шаг 1: Преобразование sin(arccos a) в выражение с косинусом

В основе этого шага лежит основное тригонометрическое тождество:

$sin^2(x) + cos^2(x) = 1$

Из этого тождества мы можем выразить синус через косинус:

$sin^2(x) = 1 - cos^2(x)$

$sin(x) = \pm\sqrt{1 - cos^2(x)}$

Теперь подставим в эту формулу вместо $x$ наше выражение $arccos(a)$. Получаем:

$sin(arccos(a)) = \pm\sqrt{1 - (cos(arccos(a)))^2}$

Чтобы определить, какой знак выбрать (плюс или минус), нужно посмотреть на область значений функции арккосинус. По определению, $arccos(a)$ возвращает угол в диапазоне от $0$ до $\pi$.

$0 \le arccos(a) \le \pi$

Синус любого угла в этом диапазоне (в первой и второй координатных четвертях) является неотрицательным числом, то есть $sin(x) \ge 0$ для $x \in [0, \pi]$. Следовательно, мы должны выбрать знак «плюс» перед корнем:

$sin(arccos(a)) = \sqrt{1 - (cos(arccos(a)))^2}$

Это и есть первое равенство в цепочке преобразований.

Шаг 2: Упрощение выражения под корнем

Второе равенство основано на определении арккосинуса как функции, обратной косинусу. По определению, для любого $a$ из области определения арккосинуса (то есть при $a \in [-1, 1]$) справедливо равенство:

$cos(arccos(a)) = a$

Это означает, что косинус от арккосинуса числа $a$ есть само число $a$.

Теперь мы можем подставить это значение в формулу, полученную на первом шаге:

$\sqrt{1 - (cos(arccos(a)))^2} = \sqrt{1 - (a)^2} = \sqrt{1 - a^2}$

Это объясняет второе равенство.

Итог:

Соединяя оба шага, мы получаем полную цепочку преобразований:

$sin(arccos(a)) = \sqrt{1 - (cos(arccos(a)))^2} = \sqrt{1 - a^2}$

Ответ: Преобразование выполнено с использованием основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ и определения обратной функции $cos(arccos(a)) = a$. Знак «плюс» перед корнем выбран потому, что область значений $arccos(a)$ — это $[0, \pi]$, где синус неотрицателен.

ОБЪЯСНИТЕ

Как выполнили преобразования:

1) $ctg(\arcsin a) = \frac{\cos(\arcsin a)}{\sin(\arcsin a)} = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$;

2) $tg(\arccos a) = \frac{\sin(\arccos a)}{\cos(\arccos a)} = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$;

3) $ctg(\arccos a) = \frac{\cos(\arccos a)}{\sin(\arccos a)} = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}?$

1) ctg(arcsina) = cos(arcsin a) / sin(arcsin a) = $\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$;

Преобразование выполняется в несколько шагов с использованием определений тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

1. Первое равенство основано на определении котангенса: $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$. В данном случае в качестве аргумента $x$ выступает $arcsin(a)$. Таким образом, $ctg(arcsin a) = \frac{cos(arcsin a)}{sin(arcsin a)}$.

2. Далее упростим числитель и знаменатель полученной дроби.

Знаменатель: По определению арксинуса, $sin(arcsin a) = a$. Это равенство верно для всех $a$ из области определения арксинуса, то есть $a \in [-1, 1]$.

Числитель: Чтобы найти $cos(arcsin a)$, введем замену: пусть $y = arcsin(a)$. Тогда по определению арксинуса $sin(y) = a$, причем угол $y$ лежит в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2(y) + cos^2(y) = 1$. Выразим косинус: $cos^2(y) = 1 - sin^2(y)$. Подставив $sin(y) = a$, получим $cos^2(y) = 1 - a^2$, откуда $cos(y) = \pm\sqrt{1-a^2}$. Поскольку $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (I и IV координатные четверти), значение косинуса в этом диапазоне всегда неотрицательно ($cos(y) \ge 0$). Следовательно, мы выбираем знак плюс: $cos(y) = cos(arcsin a) = \sqrt{1-a^2}$.

3. Подставляем упрощенные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь: $ctg(arcsin a) = \frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$.

Это тождество справедливо для всех $a \in [-1, 1]$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Ответ: $\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$

2) tg(arccosa) = sin(arccos a) / cos(arccos a) = $\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$;

Преобразование выполняется аналогично предыдущему пункту.

1. Первое равенство основано на определении тангенса: $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$. Здесь $x = arccos(a)$, поэтому $tg(arccos a) = \frac{sin(arccos a)}{cos(arccos a)}$.

2. Упростим числитель и знаменатель.

Знаменатель: По определению арккосинуса, $cos(arccos a) = a$. Это равенство верно для всех $a \in [-1, 1]$.

Числитель: Чтобы найти $sin(arccos a)$, введем замену: пусть $y = arccos(a)$. Тогда $cos(y) = a$, причем угол $y$ лежит в диапазоне $[0, \pi]$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2(y) + cos^2(y) = 1$ выразим синус: $sin^2(y) = 1 - cos^2(y) = 1 - a^2$. Отсюда $sin(y) = \pm\sqrt{1-a^2}$. Поскольку $y \in [0, \pi]$ (I и II координатные четверти), значение синуса в этом диапазоне всегда неотрицательно ($sin(y) \ge 0$). Следовательно, мы выбираем знак плюс: $sin(y) = sin(arccos a) = \sqrt{1-a^2}$.

3. Подставляем упрощенные выражения в дробь: $tg(arccos a) = \frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$.

Это тождество справедливо для всех $a \in [-1, 1]$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Ответ: $\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$

3) ctg(arccosa) = cos(arccos a) / sin(arccos a) = $\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$?

Это преобразование также использует определения тригонометрических и обратных функций. Знак вопроса в конце, вероятно, означает, что требуется подтвердить или выполнить это преобразование.

1. По определению котангенса: $ctg(arccos a) = \frac{cos(arccos a)}{sin(arccos a)}$.

2. Упростим числитель и знаменатель, используя результаты, полученные в предыдущем пункте.

Числитель: По определению арккосинуса, $cos(arccos a) = a$.

Знаменатель: Как было показано в пункте 2, $sin(arccos a) = \sqrt{1-a^2}$.

3. Подставляем эти выражения в формулу для котангенса: $ctg(arccos a) = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$.

Таким образом, преобразование выполнено верно. Это тождество справедливо для всех $a$, при которых определен арккосинус и знаменатель не равен нулю. Знаменатель $\sqrt{1-a^2}$ равен нулю при $a = \pm1$. Следовательно, равенство верно для $a \in (-1, 1)$.

Ответ: $\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$

53.12. $X(-1; 0; 1)$ и $M(X) = 0.1$; $M(X^2) = 0.9$. Найдите вероятности, соответствующие значениям случайной величины, и составьте закон распределения.

Пусть случайная величина X принимает значения $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 1$ с соответствующими неизвестными вероятностями $p_1$, $p_2$ и $p_3$.

Основное свойство дискретного распределения вероятностей заключается в том, что сумма всех вероятностей равна единице. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$ (1)

Математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$. Для нашей задачи:

$M(X) = (-1) \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 1 \cdot p_3 = -p_1 + p_3$

По условию задачи $M(X) = 0,1$, что дает нам второе уравнение:

$-p_1 + p_3 = 0,1$ (2)

Математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$ вычисляется по формуле $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$. Для нашей задачи значения $X^2$ будут $(-1)^2=1$, $0^2=0$, $1^2=1$. Тогда:

$M(X^2) = (-1)^2 \cdot p_1 + 0^2 \cdot p_2 + 1^2 \cdot p_3 = 1 \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 1 \cdot p_3 = p_1 + p_3$

По условию $M(X^2) = 0,9$, что дает нам третье уравнение:

$p_1 + p_3 = 0,9$ (3)

Теперь у нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases}p_1 + p_2 + p_3 = 1 \\-p_1 + p_3 = 0,1 \\p_1 + p_3 = 0,9\end{cases}$

Для нахождения $p_1$ и $p_3$ решим систему из уравнений (2) и (3). Сложим эти два уравнения:

$(-p_1 + p_3) + (p_1 + p_3) = 0,1 + 0,9$

$2p_3 = 1,0$

$p_3 = 0,5$

Подставим найденное значение $p_3$ в уравнение (3):

$p_1 + 0,5 = 0,9$

$p_1 = 0,9 - 0,5$

$p_1 = 0,4$

Теперь, зная $p_1$ и $p_3$, мы можем найти $p_2$ из уравнения (1):

$0,4 + p_2 + 0,5 = 1$

$0,9 + p_2 = 1$

$p_2 = 1 - 0,9$

$p_2 = 0,1$

Итак, мы нашли вероятности, соответствующие значениям случайной величины: $P(X=-1) = 0,4$, $P(X=0) = 0,1$, $P(X=1) = 0,5$.

Закон распределения случайной величины X можно представить в виде таблицы:

Ответ: Вероятности, соответствующие значениям случайной величины -1, 0 и 1, равны 0,4, 0,1 и 0,5 соответственно. Закон распределения представлен в таблице выше.

53.13. Дан ряд возможных значений дискретной случайной величины

$X: x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3.$ Известны $M(X) = 2,3, M(X^2) = 5,9.$

Найдите вероятности: $p_1, p_2, p_3,$ соответствующие значениям $x_1, x_2, x_3.$

Для нахождения искомых вероятностей $p_1, p_2, p_3$ необходимо составить и решить систему уравнений, используя определения математического ожидания и основное свойство ряда распределения.

Первое уравнение следует из свойства нормировки, согласно которому сумма всех вероятностей для дискретной случайной величины равна единице:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$

Второе уравнение получается из определения математического ожидания $M(X) = \sum x_i p_i$. По условию, $M(X) = 2,3$, а возможные значения случайной величины $x_1=1, x_2=2, x_3=3$:

$1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_3 = 2,3$

Третье уравнение получается из определения математического ожидания квадрата случайной величины $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$. По условию, $M(X^2) = 5,9$:

$1^2 \cdot p_1 + 2^2 \cdot p_2 + 3^2 \cdot p_3 = 5,9$

$p_1 + 4p_2 + 9p_3 = 5,9$

Таким образом, мы получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 = 1 \\ p_1 + 2p_2 + 3p_3 = 2,3 \\ p_1 + 4p_2 + 9p_3 = 5,9\end{cases}$

Решим эту систему. Вычтем первое уравнение из второго и третьего, чтобы исключить $p_1$:

$(p_1 + 2p_2 + 3p_3) - (p_1 + p_2 + p_3) = 2,3 - 1 \implies p_2 + 2p_3 = 1,3$

$(p_1 + 4p_2 + 9p_3) - (p_1 + p_2 + p_3) = 5,9 - 1 \implies 3p_2 + 8p_3 = 4,9$

Мы получили упрощенную систему из двух уравнений:

$\begin{cases} p_2 + 2p_3 = 1,3 \\ 3p_2 + 8p_3 = 4,9\end{cases}$

Из первого уравнения этой новой системы выразим $p_2$: $p_2 = 1,3 - 2p_3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(1,3 - 2p_3) + 8p_3 = 4,9$

$3,9 - 6p_3 + 8p_3 = 4,9$

$2p_3 = 4,9 - 3,9$

$2p_3 = 1,0$

$p_3 = 0,5$

Теперь, зная $p_3$, найдем $p_2$:

$p_2 = 1,3 - 2(0,5) = 1,3 - 1 = 0,3$

Наконец, найдем $p_1$ из самого первого уравнения системы:

$p_1 = 1 - p_2 - p_3 = 1 - 0,3 - 0,5 = 0,2$

Ответ: $p_1 = 0,2$; $p_2 = 0,3$; $p_3 = 0,5$.

53.14. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины $X$ — числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу нестандартных деталей среди двух отобранных. Всего в партии 10 деталей, из которых 3 нестандартные и, соответственно, $10 - 3 = 7$ стандартных. Мы отбираем 2 детали.

Случайная величина $X$ может принимать следующие значения: 0, 1 или 2.

Найдем вероятности для каждого из этих значений. Общее число способов выбрать 2 детали из 10 равно числу сочетаний:

$N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

1. Найдем вероятность того, что среди двух отобранных деталей нет нестандартных ($X=0$). Это означает, что обе детали стандартные. Число способов выбрать 2 стандартные детали из 7 равно:

$N(X=0) = C_3^0 \cdot C_7^2 = 1 \cdot \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

Вероятность этого события:

$P(X=0) = \frac{N(X=0)}{N} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

2. Найдем вероятность того, что среди двух отобранных деталей одна нестандартная ($X=1$). Это означает, что мы выбираем 1 нестандартную деталь из 3 и 1 стандартную деталь из 7. Число способов сделать это:

$N(X=1) = C_3^1 \cdot C_7^1 = 3 \cdot 7 = 21$.

Вероятность этого события:

$P(X=1) = \frac{N(X=1)}{N} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

3. Найдем вероятность того, что среди двух отобранных деталей обе нестандартные ($X=2$). Это означает, что мы выбираем 2 нестандартные детали из 3 и 0 стандартных деталей из 7. Число способов сделать это:

$N(X=2) = C_3^2 \cdot C_7^0 = \frac{3!}{2!(3-2)!} \cdot 1 = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3$.

Вероятность этого события:

$P(X=2) = \frac{N(X=2)}{N} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1:

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{21}{45} + \frac{21}{45} + \frac{3}{45} = \frac{45}{45} = 1$.

Теперь мы можем найти математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ по формуле:

$M(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i = x_0 \cdot P(X=0) + x_1 \cdot P(X=1) + x_2 \cdot P(X=2)$.

Подставим наши значения:

$M(X) = 0 \cdot \frac{7}{15} + 1 \cdot \frac{7}{15} + 2 \cdot \frac{1}{15} = 0 + \frac{7}{15} + \frac{2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$.

Ответ: $0.6$.

53.15. Найти дисперсию дискретной случайной величины $X$ — числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна $0,2$.

В данной задаче рассматривается серия из $n=5$ независимых испытаний. Случайная величина $X$ — это число появлений события A в этих испытаниях. Вероятность появления события A в каждом отдельном испытании постоянна и равна $p=0,2$. Такая схема испытаний называется схемой Бернулли, а случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение.

Дисперсия $D(X)$ случайной величины, распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формуле:

$D(X) = n \cdot p \cdot q$

где:

$n$ — число независимых испытаний;

$p$ — вероятность наступления события ("успеха") в одном испытании;

$q$ — вероятность ненаступления события ("неудачи") в одном испытании, причем $q = 1 - p$.

Согласно условию задачи, у нас есть:

$n = 5$

$p = 0,2$

Сначала найдем вероятность $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$

Теперь подставим все значения в формулу для дисперсии:

$D(X) = 5 \cdot 0,2 \cdot 0,8$

Выполним вычисления:

$D(X) = 1 \cdot 0,8 = 0,8$

Ответ: 0,8

53.16. Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения: $x_1=1$, $x_2$ и $x_3$, причем $x_1 < x_2 < x_3$. Вероятность того, что X примет значения $x_1$ и $x_2$, соответственно равна 0,3 и 0,2. Найдите закон распределения величины X, зная ее математическое ожидание $M(X) = 2,2$ и дисперсию $D(X) = 0,76$.

Для нахождения закона распределения дискретной случайной величины X необходимо определить все ее возможные значения ( $x_1, x_2, x_3$ ) и соответствующие им вероятности ( $p_1, p_2, p_3$ ).

Из условия задачи известны следующие данные:

Возможное значение $x_1 = 1$.

Вероятность $p_1 = P(X=x_1) = 0,3$.

Вероятность $p_2 = P(X=x_2) = 0,2$.

Математическое ожидание $M(X) = 2,2$.

Дисперсия $D(X) = 0,76$.

Также известно, что значения упорядочены: $x_1 < x_2 < x_3$.

1. Нахождение вероятности $p_3$

Сумма всех вероятностей распределения должна быть равна единице:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$

Подставляем известные значения вероятностей:

$0,3 + 0,2 + p_3 = 1$

$0,5 + p_3 = 1$

$p_3 = 1 - 0,5 = 0,5$

2. Составление системы уравнений для нахождения $x_2$ и $x_3$

Используем определения математического ожидания и дисперсии для составления системы уравнений.

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле:

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3$

Подставим известные значения:

$2,2 = 1 \cdot 0,3 + x_2 \cdot 0,2 + x_3 \cdot 0,5$

$2,2 = 0,3 + 0,2x_2 + 0,5x_3$

$1,9 = 0,2x_2 + 0,5x_3$

Для удобства умножим уравнение на 10:

$19 = 2x_2 + 5x_3$ (Уравнение 1)

Дисперсия $D(X)$ связана с математическим ожиданием и математическим ожиданием квадрата случайной величины $M(X^2)$ формулой:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Отсюда можем найти $M(X^2)$:

$M(X^2) = D(X) + [M(X)]^2 = 0,76 + (2,2)^2 = 0,76 + 4,84 = 5,6$

Формула для $M(X^2)$:

$M(X^2) = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3$

Подставим известные значения:

$5,6 = 1^2 \cdot 0,3 + x_2^2 \cdot 0,2 + x_3^2 \cdot 0,5$

$5,6 = 0,3 + 0,2x_2^2 + 0,5x_3^2$

$5,3 = 0,2x_2^2 + 0,5x_3^2$

Умножим уравнение на 10:

$53 = 2x_2^2 + 5x_3^2$ (Уравнение 2)

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 2x_2 + 5x_3 = 19 \\ 2x_2^2 + 5x_3^2 = 53 \end{cases}$

Выразим $x_3$ из первого уравнения:

$5x_3 = 19 - 2x_2 \implies x_3 = \frac{19 - 2x_2}{5}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x_2^2 + 5 \left(\frac{19 - 2x_2}{5}\right)^2 = 53$

$2x_2^2 + 5 \frac{(19 - 2x_2)^2}{25} = 53$

$2x_2^2 + \frac{(19 - 2x_2)^2}{5} = 53$

Умножим обе части уравнения на 5:

$10x_2^2 + (19 - 2x_2)^2 = 265$

$10x_2^2 + (361 - 76x_2 + 4x_2^2) = 265$

Приведем подобные члены:

$14x_2^2 - 76x_2 + 361 - 265 = 0$

$14x_2^2 - 76x_2 + 96 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$7x_2^2 - 38x_2 + 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-38)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 48 = 1444 - 1344 = 100 = 10^2$

Корни уравнения:

$x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{38 \pm 10}{14}$

Получаем два возможных решения для $x_2$:

$x_{2,1} = \frac{38 + 10}{14} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}$

$x_{2,2} = \frac{38 - 10}{14} = \frac{28}{14} = 2$

4. Выбор правильного решения

Теперь найдем соответствующие значения $x_3$ для каждого $x_2$ и проверим выполнение условия $x_1 < x_2 < x_3$.

Случай 1: Если $x_2 = 2$.

$x_3 = \frac{19 - 2 \cdot 2}{5} = \frac{19 - 4}{5} = \frac{15}{5} = 3$.

Проверяем условие $x_1 < x_2 < x_3$ с $x_1=1$: $1 < 2 < 3$. Условие выполняется.

Случай 2: Если $x_2 = \frac{24}{7}$.

$x_3 = \frac{19 - 2 \cdot \frac{24}{7}}{5} = \frac{\frac{133 - 48}{7}}{5} = \frac{\frac{85}{7}}{5} = \frac{17}{7}$.

Проверяем условие $x_1 < x_2 < x_3$: $1 < \frac{24}{7} \approx 3,43$ и $x_3 = \frac{17}{7} \approx 2,43$. Неравенство $x_2 < x_3$ не выполняется, так как $\frac{24}{7} > \frac{17}{7}$. Следовательно, это решение не подходит.

Таким образом, единственно верные значения: $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=3$.

Ответ: Закон распределения случайной величины X представлен следующими значениями и их вероятностями:

$P(X=1) = 0,3$

$P(X=2) = 0,2$

$P(X=3) = 0,5$

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ

Блез Паскаль

(1623—1662)

53.17. Впервые понятие математического ожидания в теории вероятностей появилось из переписки Б. Паскаля — французского математика, механика, физика, литератора и философа и П. Ферма — французского математика, по профессии юриста.

Пьер де Ферма

(1601—1665)

53.17. Впервые понятие математического ожидания в теории вероятностей появилось из переписки Б. Паскаля — французского математика, механика, физика, литератора и философа и П. Ферма — французского математика, по профессии юриста.

Действительно, рождение теории вероятностей и ключевого для нее понятия математического ожидания принято связывать с перепиской двух великих французских ученых, Блеза Паскаля и Пьера де Ферма, которая состоялась летом 1654 года. Толчком к их научному диалогу послужил ряд вопросов, заданных Паскалю его знакомым, Антуаном Гомбо, шевалье де Мере, который был азартным игроком и интересовался теоретическими аспектами игр. Наиболее известная из этих задач получила название «задача о разделе ставки» (problème des partis).

Суть задачи заключается в следующем: два игрока играют в игру, состоящую из нескольких партий (например, подбрасывают монету). Они договариваются, что тот, кто первым выиграет определенное число партий, забирает весь призовой фонд. Однако игра прерывается до того, как один из игроков достиг победы. Вопрос: как справедливо разделить призовой фонд, учитывая текущий счет?

Паскаль и Ферма подошли к решению этой задачи разными путями, но пришли к одинаковому результату, что подтвердило правильность их рассуждений.

Метод Пьера де Ферма основывался на анализе всех возможных равновероятных исходов игры, если бы она была продолжена. Допустим, игроку А для победы не хватает $a$ партий, а игроку Б — $b$ партий. Максимальное число партий, которое им осталось бы сыграть, равно $a+b-1$. Ферма рассматривал все возможные исходы этих $a+b-1$ партий. Затем он подсчитывал, сколько из этих исходов приводят к победе игрока А, а сколько — к победе игрока Б. Ставки делились в той же пропорции. Например, если А для победы нужна 1 партия, а Б — 2, то игра закончится максимум через 2 партии. Возможные исходы (А — победа А в партии, Б — победа Б): А, БА, ББ. Если вероятность победы в каждой партии 1/2, то вероятность исхода "А" равна $1/2$. Вероятность исхода "БА" равна $1/2 \cdot 1/2 = 1/4$. Вероятность "ББ" также $1/4$. Игрок А побеждает в случаях "А" и "БА". Его общая вероятность победы: $P(A) = 1/2 + 1/4 = 3/4$. Соответственно, игрок А должен получить 3/4 от призового фонда.

Метод Блеза Паскаля был рекурсивным и более общим. Он рассуждал, что справедливая доля игрока в текущий момент равна среднему значению его долей после следующей партии. Пусть $E(a, b)$ — это доля игрока А, если ему до победы не хватает $a$ партий, а игроку Б — $b$ партий. После следующей партии (считая вероятности победы в ней равными $1/2$) ситуация изменится: либо игроку А будет не хватать $a-1$ партий, а Б — $b$ (если А выиграет), либо А будет не хватать $a$, а Б — $b-1$ (если Б выиграет). Таким образом, Паскаль вывел формулу: $E(a, b) = \frac{1}{2} E(a-1, b) + \frac{1}{2} E(a, b-1)$. Используя граничные условия (если $a=0$, то игрок А уже победил и его доля $E(0, b)=1$; если $b=0$, то А проиграл и $E(a, 0)=0$), он мог рассчитать справедливую долю для любой ситуации. Этот метод напрямую связан с комбинаторикой и треугольником Паскаля.

Именно этот подход, вычисляющий «справедливую цену» или «ожидаемый выигрыш», и стал основой понятия математического ожидания. Математическое ожидание случайной величины — это, по сути, ее среднее значение, взвешенное по вероятностям ее исходов. Если случайная величина $X$ может принимать значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$ соответственно, то ее математическое ожидание $E(X)$ вычисляется по формуле: $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$ В задаче о разделе ставки, справедливая доля каждого игрока — это и есть математическое ожидание его выигрыша.

Таким образом, решая практическую задачу из области азартных игр, Паскаль и Ферма заложили основы теории вероятностей и ввели одно из ее центральных понятий, которое сегодня используется в огромном количестве областей — от экономики и страхования до квантовой механики и информатики.

Ответ: Понятие математического ожидания было впервые сформулировано в ходе решения «задачи о разделе ставки», которую Блез Паскаль и Пьер де Ферма обсуждали в своей переписке в 1654 году. Они искали справедливый способ разделить призовой фонд в прерванной азартной игре. Оба математика, используя разные методы (Ферма — анализ всех возможных будущих исходов, Паскаль — рекурсивный подход), пришли к выводу, что доля каждого игрока должна быть равна сумме произведений всех возможных для него выигрышей на их вероятности. Эта вычисленная «справедливая стоимость» и является по своей сути математическим ожиданием. Для случайной величины $X$, принимающей значения $x_i$ с вероятностями $p_i$, оно вычисляется как $E(X) = \sum x_i p_i$. Эта работа положила начало теории вероятностей как строгой математической дисциплине.

53.18. Найдите значение углового коэффициента касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $y = x^2 - 3x, x_0 = 2;$

2) $y = \sqrt{3-x}, x_0 = 2;$

3) $y = \frac{2x-1}{x+1}, x_0 = 3.$

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) $y = x^2 - 3x, x_0 = 2$

Сначала найдем производную функции $f(x) = x^2 - 3x$:

$f'(x) = (x^2 - 3x)' = (x^2)' - (3x)' = 2x - 3$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$, чтобы найти угловой коэффициент $k$:

$k = f'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Ответ: 1.

2) $y = \sqrt{3-x}, x_0 = 2$

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3-x}$. Это сложная функция, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{3-x})' = \frac{1}{2\sqrt{3-x}} \cdot (3-x)' = \frac{1}{2\sqrt{3-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$k = f'(2) = -\frac{1}{2\sqrt{3-2}} = -\frac{1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) $y = \frac{2x-1}{x+1}, x_0 = 3$

Найдем производную функции $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(2x-1)'(x+1) - (2x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - (2x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$.

Упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:

$k = f'(3) = \frac{3}{(3+1)^2} = \frac{3}{4^2} = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$.