Номер 53.13, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53.13. Дан ряд возможных значений дискретной случайной величины

$X: x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3.$ Известны $M(X) = 2,3, M(X^2) = 5,9.$

Найдите вероятности: $p_1, p_2, p_3,$ соответствующие значениям $x_1, x_2, x_3.$

Для нахождения искомых вероятностей $p_1, p_2, p_3$ необходимо составить и решить систему уравнений, используя определения математического ожидания и основное свойство ряда распределения.

Первое уравнение следует из свойства нормировки, согласно которому сумма всех вероятностей для дискретной случайной величины равна единице:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$

Второе уравнение получается из определения математического ожидания $M(X) = \sum x_i p_i$. По условию, $M(X) = 2,3$, а возможные значения случайной величины $x_1=1, x_2=2, x_3=3$:

$1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_3 = 2,3$

Третье уравнение получается из определения математического ожидания квадрата случайной величины $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$. По условию, $M(X^2) = 5,9$:

$1^2 \cdot p_1 + 2^2 \cdot p_2 + 3^2 \cdot p_3 = 5,9$

$p_1 + 4p_2 + 9p_3 = 5,9$

Таким образом, мы получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 = 1 \\ p_1 + 2p_2 + 3p_3 = 2,3 \\ p_1 + 4p_2 + 9p_3 = 5,9\end{cases}$

Решим эту систему. Вычтем первое уравнение из второго и третьего, чтобы исключить $p_1$:

$(p_1 + 2p_2 + 3p_3) - (p_1 + p_2 + p_3) = 2,3 - 1 \implies p_2 + 2p_3 = 1,3$

$(p_1 + 4p_2 + 9p_3) - (p_1 + p_2 + p_3) = 5,9 - 1 \implies 3p_2 + 8p_3 = 4,9$

Мы получили упрощенную систему из двух уравнений:

$\begin{cases} p_2 + 2p_3 = 1,3 \\ 3p_2 + 8p_3 = 4,9\end{cases}$

Из первого уравнения этой новой системы выразим $p_2$: $p_2 = 1,3 - 2p_3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(1,3 - 2p_3) + 8p_3 = 4,9$

$3,9 - 6p_3 + 8p_3 = 4,9$

$2p_3 = 4,9 - 3,9$

$2p_3 = 1,0$

$p_3 = 0,5$

Теперь, зная $p_3$, найдем $p_2$:

$p_2 = 1,3 - 2(0,5) = 1,3 - 1 = 0,3$

Наконец, найдем $p_1$ из самого первого уравнения системы:

$p_1 = 1 - p_2 - p_3 = 1 - 0,3 - 0,5 = 0,2$

Ответ: $p_1 = 0,2$; $p_2 = 0,3$; $p_3 = 0,5$.