Номер 53.20, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53.20. Постройте график функции:

1) $f(x)=2|\cos x|$;

2) $f(x)=2\cos x + |\cos x|$;

3) $f(x)=2-|\cos x|$.

1) $f(x) = 2|\cos x|$

Для построения графика функции $f(x) = 2|\cos x|$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Строим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.

2. Преобразуем его в график функции $y = |\cos x|$. Модуль оставляет без изменений ту часть графика, где $y \ge 0$ (т.е. $\cos x \ge 0$), и симметрично отражает относительно оси Ox ту часть графика, где $y < 0$ (т.е. $\cos x < 0$). В результате получается график, состоящий из одинаковых "холмов", расположенных на оси Ox. Период этой функции становится равным $\pi$, а область значений — $[0, 1]$.

3. Строим график функции $f(x) = 2|\cos x|$. Этот график получается из графика $y = |\cos x|$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза. Каждая ордината точки графика умножается на 2. Минимальное значение функции остается равным 0, а максимальное становится $1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: График функции $f(x) = 2|\cos x|$ представляет собой последовательность одинаковых "холмов". Он получается из графика $y=\cos x$ путем отражения отрицательной части относительно оси абсцисс и последующего растяжения вдоль оси ординат в 2 раза. Период функции равен $\pi$. Область значений функции — $[0, 2]$. Максимумы, равные 2, достигаются в точках $x = \pi k$, а минимумы, равные 0, в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = 2\cos x + |\cos x|$

Для построения графика этой функции раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этих интервалах функция принимает вид: $f(x) = 2\cos x + \cos x = 3\cos x$.

Таким образом, на данных участках мы строим график функции $y = 3\cos x$ (косинусоида с амплитудой 3).

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Это условие выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этих интервалах функция принимает вид: $f(x) = 2\cos x - \cos x = \cos x$.

Таким образом, на данных участках мы строим график функции $y = \cos x$ (стандартная косинусоида с амплитудой 1).

Соединяя эти части, получаем итоговый график. Функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции строится кусочно. На интервалах, где $\cos x \ge 0$ (например, от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$), он совпадает с графиком $y = 3\cos x$. На интервалах, где $\cos x < 0$ (например, от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$), он совпадает с графиком $y = \cos x$. Период функции $2\pi$. Область значений функции — $[-1, 3]$. Максимумы, равные 3, достигаются в точках $x=2\pi k$, а минимумы, равные -1, в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $f(x) = 2 - |\cos x|$

Для построения графика функции $f(x) = 2 - |\cos x|$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика $y = |\cos x|$.

1. Строим график функции $y = |\cos x|$. Как и в первом пункте, это график, состоящий из "холмов" с периодом $\pi$ и областью значений $[0, 1]$.

2. Строим график функции $y = -|\cos x|$. Этот график получается из предыдущего путем симметричного отражения относительно оси Ox. Теперь "холмы" превратились во "впадины". Область значений этой функции — $[-1, 0]$.

3. Строим итоговый график $f(x) = 2 - |\cos x| = -|\cos x| + 2$. Этот график получается из графика $y = -|\cos x|$ путем сдвига вверх вдоль оси Oy на 2 единицы. Каждая точка графика сдвигается на 2 единицы вверх.

Ответ: График функции $f(x) = 2 - |\cos x|$ получается из графика $y = |\cos x|$ путем его отражения относительно оси абсцисс и последующего сдвига на 2 единицы вверх. График состоит из периодических "впадин". Период функции равен $\pi$. Область значений функции — $[1, 2]$. Максимумы, равные 2, достигаются в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, а минимумы, равные 1, в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.