Номер 53.16, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53.16. Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения: $x_1=1$, $x_2$ и $x_3$, причем $x_1 < x_2 < x_3$. Вероятность того, что X примет значения $x_1$ и $x_2$, соответственно равна 0,3 и 0,2. Найдите закон распределения величины X, зная ее математическое ожидание $M(X) = 2,2$ и дисперсию $D(X) = 0,76$.

Для нахождения закона распределения дискретной случайной величины X необходимо определить все ее возможные значения ( $x_1, x_2, x_3$ ) и соответствующие им вероятности ( $p_1, p_2, p_3$ ).

Из условия задачи известны следующие данные:

Возможное значение $x_1 = 1$.

Вероятность $p_1 = P(X=x_1) = 0,3$.

Вероятность $p_2 = P(X=x_2) = 0,2$.

Математическое ожидание $M(X) = 2,2$.

Дисперсия $D(X) = 0,76$.

Также известно, что значения упорядочены: $x_1 < x_2 < x_3$.

1. Нахождение вероятности $p_3$

Сумма всех вероятностей распределения должна быть равна единице:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$

Подставляем известные значения вероятностей:

$0,3 + 0,2 + p_3 = 1$

$0,5 + p_3 = 1$

$p_3 = 1 - 0,5 = 0,5$

2. Составление системы уравнений для нахождения $x_2$ и $x_3$

Используем определения математического ожидания и дисперсии для составления системы уравнений.

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле:

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3$

Подставим известные значения:

$2,2 = 1 \cdot 0,3 + x_2 \cdot 0,2 + x_3 \cdot 0,5$

$2,2 = 0,3 + 0,2x_2 + 0,5x_3$

$1,9 = 0,2x_2 + 0,5x_3$

Для удобства умножим уравнение на 10:

$19 = 2x_2 + 5x_3$ (Уравнение 1)

Дисперсия $D(X)$ связана с математическим ожиданием и математическим ожиданием квадрата случайной величины $M(X^2)$ формулой:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Отсюда можем найти $M(X^2)$:

$M(X^2) = D(X) + [M(X)]^2 = 0,76 + (2,2)^2 = 0,76 + 4,84 = 5,6$

Формула для $M(X^2)$:

$M(X^2) = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3$

Подставим известные значения:

$5,6 = 1^2 \cdot 0,3 + x_2^2 \cdot 0,2 + x_3^2 \cdot 0,5$

$5,6 = 0,3 + 0,2x_2^2 + 0,5x_3^2$

$5,3 = 0,2x_2^2 + 0,5x_3^2$

Умножим уравнение на 10:

$53 = 2x_2^2 + 5x_3^2$ (Уравнение 2)

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 2x_2 + 5x_3 = 19 \\ 2x_2^2 + 5x_3^2 = 53 \end{cases}$

Выразим $x_3$ из первого уравнения:

$5x_3 = 19 - 2x_2 \implies x_3 = \frac{19 - 2x_2}{5}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x_2^2 + 5 \left(\frac{19 - 2x_2}{5}\right)^2 = 53$

$2x_2^2 + 5 \frac{(19 - 2x_2)^2}{25} = 53$

$2x_2^2 + \frac{(19 - 2x_2)^2}{5} = 53$

Умножим обе части уравнения на 5:

$10x_2^2 + (19 - 2x_2)^2 = 265$

$10x_2^2 + (361 - 76x_2 + 4x_2^2) = 265$

Приведем подобные члены:

$14x_2^2 - 76x_2 + 361 - 265 = 0$

$14x_2^2 - 76x_2 + 96 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$7x_2^2 - 38x_2 + 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-38)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 48 = 1444 - 1344 = 100 = 10^2$

Корни уравнения:

$x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{38 \pm 10}{14}$

Получаем два возможных решения для $x_2$:

$x_{2,1} = \frac{38 + 10}{14} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}$

$x_{2,2} = \frac{38 - 10}{14} = \frac{28}{14} = 2$

4. Выбор правильного решения

Теперь найдем соответствующие значения $x_3$ для каждого $x_2$ и проверим выполнение условия $x_1 < x_2 < x_3$.

Случай 1: Если $x_2 = 2$.

$x_3 = \frac{19 - 2 \cdot 2}{5} = \frac{19 - 4}{5} = \frac{15}{5} = 3$.

Проверяем условие $x_1 < x_2 < x_3$ с $x_1=1$: $1 < 2 < 3$. Условие выполняется.

Случай 2: Если $x_2 = \frac{24}{7}$.

$x_3 = \frac{19 - 2 \cdot \frac{24}{7}}{5} = \frac{\frac{133 - 48}{7}}{5} = \frac{\frac{85}{7}}{5} = \frac{17}{7}$.

Проверяем условие $x_1 < x_2 < x_3$: $1 < \frac{24}{7} \approx 3,43$ и $x_3 = \frac{17}{7} \approx 2,43$. Неравенство $x_2 < x_3$ не выполняется, так как $\frac{24}{7} > \frac{17}{7}$. Следовательно, это решение не подходит.

Таким образом, единственно верные значения: $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=3$.

Ответ: Закон распределения случайной величины X представлен следующими значениями и их вероятностями:

$P(X=1) = 0,3$

$P(X=2) = 0,2$

$P(X=3) = 0,5$