Номер 53.17, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ

Блез Паскаль

(1623—1662)

53.17. Впервые понятие математического ожидания в теории вероятностей появилось из переписки Б. Паскаля — французского математика, механика, физика, литератора и философа и П. Ферма — французского математика, по профессии юриста.

Пьер де Ферма

(1601—1665)

53.17. Впервые понятие математического ожидания в теории вероятностей появилось из переписки Б. Паскаля — французского математика, механика, физика, литератора и философа и П. Ферма — французского математика, по профессии юриста.

Действительно, рождение теории вероятностей и ключевого для нее понятия математического ожидания принято связывать с перепиской двух великих французских ученых, Блеза Паскаля и Пьера де Ферма, которая состоялась летом 1654 года. Толчком к их научному диалогу послужил ряд вопросов, заданных Паскалю его знакомым, Антуаном Гомбо, шевалье де Мере, который был азартным игроком и интересовался теоретическими аспектами игр. Наиболее известная из этих задач получила название «задача о разделе ставки» (problème des partis).

Суть задачи заключается в следующем: два игрока играют в игру, состоящую из нескольких партий (например, подбрасывают монету). Они договариваются, что тот, кто первым выиграет определенное число партий, забирает весь призовой фонд. Однако игра прерывается до того, как один из игроков достиг победы. Вопрос: как справедливо разделить призовой фонд, учитывая текущий счет?

Паскаль и Ферма подошли к решению этой задачи разными путями, но пришли к одинаковому результату, что подтвердило правильность их рассуждений.

Метод Пьера де Ферма основывался на анализе всех возможных равновероятных исходов игры, если бы она была продолжена. Допустим, игроку А для победы не хватает $a$ партий, а игроку Б — $b$ партий. Максимальное число партий, которое им осталось бы сыграть, равно $a+b-1$. Ферма рассматривал все возможные исходы этих $a+b-1$ партий. Затем он подсчитывал, сколько из этих исходов приводят к победе игрока А, а сколько — к победе игрока Б. Ставки делились в той же пропорции. Например, если А для победы нужна 1 партия, а Б — 2, то игра закончится максимум через 2 партии. Возможные исходы (А — победа А в партии, Б — победа Б): А, БА, ББ. Если вероятность победы в каждой партии 1/2, то вероятность исхода "А" равна $1/2$. Вероятность исхода "БА" равна $1/2 \cdot 1/2 = 1/4$. Вероятность "ББ" также $1/4$. Игрок А побеждает в случаях "А" и "БА". Его общая вероятность победы: $P(A) = 1/2 + 1/4 = 3/4$. Соответственно, игрок А должен получить 3/4 от призового фонда.

Метод Блеза Паскаля был рекурсивным и более общим. Он рассуждал, что справедливая доля игрока в текущий момент равна среднему значению его долей после следующей партии. Пусть $E(a, b)$ — это доля игрока А, если ему до победы не хватает $a$ партий, а игроку Б — $b$ партий. После следующей партии (считая вероятности победы в ней равными $1/2$) ситуация изменится: либо игроку А будет не хватать $a-1$ партий, а Б — $b$ (если А выиграет), либо А будет не хватать $a$, а Б — $b-1$ (если Б выиграет). Таким образом, Паскаль вывел формулу: $E(a, b) = \frac{1}{2} E(a-1, b) + \frac{1}{2} E(a, b-1)$. Используя граничные условия (если $a=0$, то игрок А уже победил и его доля $E(0, b)=1$; если $b=0$, то А проиграл и $E(a, 0)=0$), он мог рассчитать справедливую долю для любой ситуации. Этот метод напрямую связан с комбинаторикой и треугольником Паскаля.

Именно этот подход, вычисляющий «справедливую цену» или «ожидаемый выигрыш», и стал основой понятия математического ожидания. Математическое ожидание случайной величины — это, по сути, ее среднее значение, взвешенное по вероятностям ее исходов. Если случайная величина $X$ может принимать значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$ соответственно, то ее математическое ожидание $E(X)$ вычисляется по формуле: $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$ В задаче о разделе ставки, справедливая доля каждого игрока — это и есть математическое ожидание его выигрыша.

Таким образом, решая практическую задачу из области азартных игр, Паскаль и Ферма заложили основы теории вероятностей и ввели одно из ее центральных понятий, которое сегодня используется в огромном количестве областей — от экономики и страхования до квантовой механики и информатики.

Ответ: Понятие математического ожидания было впервые сформулировано в ходе решения «задачи о разделе ставки», которую Блез Паскаль и Пьер де Ферма обсуждали в своей переписке в 1654 году. Они искали справедливый способ разделить призовой фонд в прерванной азартной игре. Оба математика, используя разные методы (Ферма — анализ всех возможных будущих исходов, Паскаль — рекурсивный подход), пришли к выводу, что доля каждого игрока должна быть равна сумме произведений всех возможных для него выигрышей на их вероятности. Эта вычисленная «справедливая стоимость» и является по своей сути математическим ожиданием. Для случайной величины $X$, принимающей значения $x_i$ с вероятностями $p_i$, оно вычисляется как $E(X) = \sum x_i p_i$. Эта работа положила начало теории вероятностей как строгой математической дисциплине.