Номер 53.19, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

53.19. Найдите значение $y = f''(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \cos3x$, $x_0 = \pi$;

2) $f(x) = \sin4x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

3) $f(x) = \sin^2 3x$, $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

53.20. Постройте графики функции:

1) Дана функция $f(x) = \cos(3x)$ и точка $x_0 = \pi$.

Задача состоит в нахождении значения второй производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Сначала найдем первую производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, продифференцировав $f'(x)$:

$f''(x) = (-3\sin(3x))' = -3\cos(3x) \cdot (3x)' = -3\cos(3x) \cdot 3 = -9\cos(3x)$.

Наконец, подставим значение $x_0 = \pi$ в выражение для второй производной:

$f''(\pi) = -9\cos(3\pi)$.

Зная, что $\cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$, получаем:

$f''(\pi) = -9 \cdot (-1) = 9$.

Ответ: 9

2) Дана функция $f(x) = \sin(4x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдем первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = (\sin(4x))' = \cos(4x) \cdot (4x)' = 4\cos(4x)$.

Найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = (4\cos(4x))' = 4(-\sin(4x)) \cdot (4x)' = -4\sin(4x) \cdot 4 = -16\sin(4x)$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для второй производной:

$f''(\frac{\pi}{4}) = -16\sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = -16\sin(\pi)$.

Так как $\sin(\pi) = 0$, то:

$f''(\frac{\pi}{4}) = -16 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

3) Дана функция $f(x) = \sin^2(3x)$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя цепное правило. Функцию можно представить как $f(x) = (\sin(3x))^2$.

$f'(x) = ((\sin(3x))^2)' = 2\sin(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 6\sin(3x)\cos(3x)$.

Для удобства дальнейшего дифференцирования, применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$f'(x) = 3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = 3\sin(2 \cdot 3x) = 3\sin(6x)$.

Найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = (3\sin(6x))' = 3\cos(6x) \cdot (6x)' = 18\cos(6x)$.

Подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{2}$ в выражение для второй производной:

$f''(-\frac{\pi}{2}) = 18\cos(6 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = 18\cos(-3\pi)$.

Так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos(x)$), то $\cos(-3\pi) = \cos(3\pi) = -1$.

$f''(-\frac{\pi}{2}) = 18 \cdot (-1) = -18$.

Ответ: -18