Страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Обоснуйте формулы:

1) $sin(arctga) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}};

2) $sin(arctga) = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}};

3) $cos(arctga) = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$.

1) Обоснование формулы sin(arcctg a) = 1 / √ (1 + a²)

Пусть $y = \text{arcctg } a$. По определению арккотангенса, это означает, что $\text{ctg } y = a$ и угол $y$ находится в интервале $(0, \pi)$.

Нам нужно найти $\sin y$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + \text{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$.

Подставим в это тождество значение $\text{ctg } y = a$:

$1 + a^2 = \frac{1}{\sin^2 y}$

Выразим отсюда $\sin^2 y$:

$\sin^2 y = \frac{1}{1 + a^2}$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sin y = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Чтобы определить знак, вспомним, что $y$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$. В этом интервале (I и II координатные четверти) синус всегда положителен ($\sin y > 0$).

Поэтому мы выбираем знак плюс:

$\sin y = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Заменяя $y$ обратно на $\text{arcctg } a$, получаем искомую формулу.

Ответ: $\sin(\text{arcctg } a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

2) Обоснование формулы sin(arctg a) = a / √ (1 + a²)

Пусть $y = \text{arctg } a$. По определению арктангенса, это означает, что $\text{tg } y = a$ и угол $y$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Нам нужно найти $\sin y$.

Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$. Для этого сначала найдем котангенс.

$\text{ctg } y = \frac{1}{\text{tg } y} = \frac{1}{a}$ (при $a \neq 0$).

Подставим это в тождество:

$1 + (\frac{1}{a})^2 = \frac{1}{\sin^2 y}$

$1 + \frac{1}{a^2} = \frac{1}{\sin^2 y}$

$\frac{a^2 + 1}{a^2} = \frac{1}{\sin^2 y}$

Выразим отсюда $\sin^2 y$:

$\sin^2 y = \frac{a^2}{1 + a^2}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\sin y = \pm\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Для выбора знака рассмотрим интервал $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. В этом интервале (I и IV координатные четверти) знаки синуса и тангенса совпадают. То есть, если $\text{tg } y = a > 0$, то $y \in (0, \frac{\pi}{2})$ и $\sin y > 0$. Если $\text{tg } y = a < 0$, то $y \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $\sin y < 0$.

Выражение в правой части $\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ имеет тот же знак, что и число $a$, так как знаменатель $\sqrt{1 + a^2}$ всегда положителен.

Следовательно, мы должны выбрать знак, который совпадает со знаком $a$. Это соответствует знаку плюс в формуле $\pm \frac{a}{\dots}$.

$\sin y = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Если $a = 0$, то $y = \text{arctg } 0 = 0$, и $\sin 0 = 0$. Формула также дает 0.

Подставляя $y = \text{arctg } a$, получаем требуемое равенство.

Ответ: $\sin(\text{arctg } a) = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

3) Обоснование формулы cos(arcctg a) = a / √ (1 + a²)

Пусть $y = \text{arcctg } a$. Тогда $\text{ctg } y = a$ и $y \in (0, \pi)$.

Нам нужно найти $\cos y$.

Воспользуемся тождеством $1 + \text{tg}^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$.

Если $a \neq 0$, то $\text{tg } y = \frac{1}{\text{ctg } y} = \frac{1}{a}$.

Подставляем в тождество:

$1 + (\frac{1}{a})^2 = \frac{1}{\cos^2 y}$

$\frac{a^2 + 1}{a^2} = \frac{1}{\cos^2 y}$

Отсюда выражаем $\cos^2 y$:

$\cos^2 y = \frac{a^2}{1 + a^2}$

Извлекаем корень:

$\cos y = \pm\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Определим знак. Мы знаем, что $y \in (0, \pi)$.

- Если $a > 0$, то $\text{ctg } y > 0$, значит $y$ находится в I четверти, то есть $y \in (0, \frac{\pi}{2})$. В этом случае $\cos y > 0$. Выражение $\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ также положительно.

- Если $a < 0$, то $\text{ctg } y < 0$, значит $y$ находится во II четверти, то есть $y \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$. В этом случае $\cos y < 0$. Выражение $\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ также отрицательно.

- Если $a = 0$, то $y = \text{arcctg } 0 = \frac{\pi}{2}$, и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Формула также дает 0.

Во всех случаях знак $\cos y$ совпадает со знаком $a$. Выражение $\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ имеет тот же знак, что и $a$. Поэтому выбираем знак плюс в формуле $\pm \frac{a}{\dots}$.

$\cos y = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Заменяя $y$ на $\text{arcctg } a$, получаем доказываемую формулу.

Ответ: $\cos(\text{arcctg } a) = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Как выполнили преобразование $\text{ctg}(\text{arctg} a) = \frac{1}{\text{tg}(\text{arctg} a)} = \frac{1}{a}?$

Данное преобразование можно разбить на два последовательных шага, каждый из которых основан на определённых математических свойствах и определениях.

1. Преобразование котангенса в тангенс: $ctg(arctg(a)) = \frac{1}{tg(arctg(a))}$

Этот шаг основан на фундаментальном тригонометрическом тождестве, которое связывает котангенс и тангенс для любого угла $x$:$ctg(x) = \frac{1}{tg(x)}$Это тождество справедливо для всех углов $x$, для которых $tg(x)$ определён и не равен нулю.В нашем случае в качестве угла $x$ выступает выражение $arctg(a)$. Применяя к нему указанное выше тождество, мы получаем первую часть преобразования:$ctg(arctg(a)) = \frac{1}{tg(arctg(a))}$

Ответ: Первое равенство является прямым применением основного тригонометрического тождества $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)}$, где в качестве аргумента $x$ используется $arctg(a)$.

2. Упрощение выражения с обратной функцией: $\frac{1}{tg(arctg(a))} = \frac{1}{a}$

Этот шаг следует из определения арктангенса. Функция арктангенс ($y = arctg(x)$) является обратной к функции тангенс ($x = tg(y)$). По определению, $arctg(a)$ — это такой угол, тангенс которого равен $a$.Следовательно, если мы возьмём тангенс от арктангенса числа $a$, мы по определению получим само число $a$:$tg(arctg(a)) = a$Это является проявлением общего свойства для любой функции $f$ и её обратной функции $f^{-1}$: $f(f^{-1}(x)) = x$.Теперь мы можем подставить полученный результат ($a$) в знаменатель дроби из первого шага:$\frac{1}{tg(arctg(a))} = \frac{1}{a}$Важно отметить, что исходное выражение и все преобразования имеют смысл только при $a \neq 0$, так как в противном случае произошло бы деление на ноль.

Ответ: Второе равенство получено путём упрощения знаменателя, используя определение арктангенса как функции, обратной к тангенсу, что даёт тождество $tg(arctg(a)) = a$.

53.19. Найдите значение $y = f''(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \cos3x$, $x_0 = \pi$;

2) $f(x) = \sin4x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

3) $f(x) = \sin^2 3x$, $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

53.20. Постройте графики функции:

1) Дана функция $f(x) = \cos(3x)$ и точка $x_0 = \pi$.

Задача состоит в нахождении значения второй производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Сначала найдем первую производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, продифференцировав $f'(x)$:

$f''(x) = (-3\sin(3x))' = -3\cos(3x) \cdot (3x)' = -3\cos(3x) \cdot 3 = -9\cos(3x)$.

Наконец, подставим значение $x_0 = \pi$ в выражение для второй производной:

$f''(\pi) = -9\cos(3\pi)$.

Зная, что $\cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$, получаем:

$f''(\pi) = -9 \cdot (-1) = 9$.

Ответ: 9

2) Дана функция $f(x) = \sin(4x)$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдем первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = (\sin(4x))' = \cos(4x) \cdot (4x)' = 4\cos(4x)$.

Найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = (4\cos(4x))' = 4(-\sin(4x)) \cdot (4x)' = -4\sin(4x) \cdot 4 = -16\sin(4x)$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для второй производной:

$f''(\frac{\pi}{4}) = -16\sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = -16\sin(\pi)$.

Так как $\sin(\pi) = 0$, то:

$f''(\frac{\pi}{4}) = -16 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

3) Дана функция $f(x) = \sin^2(3x)$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя цепное правило. Функцию можно представить как $f(x) = (\sin(3x))^2$.

$f'(x) = ((\sin(3x))^2)' = 2\sin(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 6\sin(3x)\cos(3x)$.

Для удобства дальнейшего дифференцирования, применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$f'(x) = 3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = 3\sin(2 \cdot 3x) = 3\sin(6x)$.

Найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = (3\sin(6x))' = 3\cos(6x) \cdot (6x)' = 18\cos(6x)$.

Подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{2}$ в выражение для второй производной:

$f''(-\frac{\pi}{2}) = 18\cos(6 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = 18\cos(-3\pi)$.

Так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos(x)$), то $\cos(-3\pi) = \cos(3\pi) = -1$.

$f''(-\frac{\pi}{2}) = 18 \cdot (-1) = -18$.

Ответ: -18

53.20. Постройте график функции:

1) $f(x)=2|\cos x|$;

2) $f(x)=2\cos x + |\cos x|$;

3) $f(x)=2-|\cos x|$.

1) $f(x) = 2|\cos x|$

Для построения графика функции $f(x) = 2|\cos x|$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Строим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.

2. Преобразуем его в график функции $y = |\cos x|$. Модуль оставляет без изменений ту часть графика, где $y \ge 0$ (т.е. $\cos x \ge 0$), и симметрично отражает относительно оси Ox ту часть графика, где $y < 0$ (т.е. $\cos x < 0$). В результате получается график, состоящий из одинаковых "холмов", расположенных на оси Ox. Период этой функции становится равным $\pi$, а область значений — $[0, 1]$.

3. Строим график функции $f(x) = 2|\cos x|$. Этот график получается из графика $y = |\cos x|$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза. Каждая ордината точки графика умножается на 2. Минимальное значение функции остается равным 0, а максимальное становится $1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: График функции $f(x) = 2|\cos x|$ представляет собой последовательность одинаковых "холмов". Он получается из графика $y=\cos x$ путем отражения отрицательной части относительно оси абсцисс и последующего растяжения вдоль оси ординат в 2 раза. Период функции равен $\pi$. Область значений функции — $[0, 2]$. Максимумы, равные 2, достигаются в точках $x = \pi k$, а минимумы, равные 0, в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = 2\cos x + |\cos x|$

Для построения графика этой функции раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этих интервалах функция принимает вид: $f(x) = 2\cos x + \cos x = 3\cos x$.

Таким образом, на данных участках мы строим график функции $y = 3\cos x$ (косинусоида с амплитудой 3).

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Это условие выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этих интервалах функция принимает вид: $f(x) = 2\cos x - \cos x = \cos x$.

Таким образом, на данных участках мы строим график функции $y = \cos x$ (стандартная косинусоида с амплитудой 1).

Соединяя эти части, получаем итоговый график. Функция является периодической с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции строится кусочно. На интервалах, где $\cos x \ge 0$ (например, от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$), он совпадает с графиком $y = 3\cos x$. На интервалах, где $\cos x < 0$ (например, от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$), он совпадает с графиком $y = \cos x$. Период функции $2\pi$. Область значений функции — $[-1, 3]$. Максимумы, равные 3, достигаются в точках $x=2\pi k$, а минимумы, равные -1, в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $f(x) = 2 - |\cos x|$

Для построения графика функции $f(x) = 2 - |\cos x|$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика $y = |\cos x|$.

1. Строим график функции $y = |\cos x|$. Как и в первом пункте, это график, состоящий из "холмов" с периодом $\pi$ и областью значений $[0, 1]$.

2. Строим график функции $y = -|\cos x|$. Этот график получается из предыдущего путем симметричного отражения относительно оси Ox. Теперь "холмы" превратились во "впадины". Область значений этой функции — $[-1, 0]$.

3. Строим итоговый график $f(x) = 2 - |\cos x| = -|\cos x| + 2$. Этот график получается из графика $y = -|\cos x|$ путем сдвига вверх вдоль оси Oy на 2 единицы. Каждая точка графика сдвигается на 2 единицы вверх.

Ответ: График функции $f(x) = 2 - |\cos x|$ получается из графика $y = |\cos x|$ путем его отражения относительно оси абсцисс и последующего сдвига на 2 единицы вверх. График состоит из периодических "впадин". Период функции равен $\pi$. Область значений функции — $[1, 2]$. Максимумы, равные 2, достигаются в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, а минимумы, равные 1, в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.