Страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

17.1. Найдите значение выражения:

1) $sin(arcsin0,2)$; 2) $sin(arcsin(-0,3))$; 3) $sinsin\left(-arcsin\frac{\sqrt{5}}{4}\right)$;

4) $cos(arccos0,6)$; 5) $cos(arccos(-0,4))$; 6) $cos\left(-arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

1) sin(arcsin0,2);

По определению арксинуса, $ \sin(\arcsin(a)) = a $ для любого $ a $, принадлежащего отрезку $ [-1, 1] $.

Поскольку $ 0,2 \in [-1, 1] $, то $ \sin(\arcsin(0,2)) = 0,2 $.

Ответ: $ 0,2 $.

2) sin(arcsin(−0,3));

По определению арксинуса, $ \sin(\arcsin(a)) = a $ для любого $ a \in [-1, 1] $.

Поскольку $ -0,3 \in [-1, 1] $, то $ \sin(\arcsin(-0,3)) = -0,3 $.

Ответ: $ -0,3 $.

3) sin(−arcsin($\frac{\sqrt{5}}{4}$));

Сначала воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

$ \sin(-\arcsin\frac{\sqrt{5}}{4}) = -\sin(\arcsin\frac{\sqrt{5}}{4}) $.

Далее, по определению арксинуса, $ \sin(\arcsin(a)) = a $ для $ a \in [-1, 1] $.

Проверим, принадлежит ли $ \frac{\sqrt{5}}{4} $ отрезку $ [-1, 1] $. Так как $ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{16} $, то $ 2 < \sqrt{5} < 4 $. Отсюда следует, что $ \frac{2}{4} < \frac{\sqrt{5}}{4} < \frac{4}{4} $, то есть $ 0,5 < \frac{\sqrt{5}}{4} < 1 $. Значение входит в указанный отрезок.

Следовательно, $ -\sin(\arcsin\frac{\sqrt{5}}{4}) = -\frac{\sqrt{5}}{4} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{5}}{4} $.

4) cos(arccos0,6);

По определению арккосинуса, $ \cos(\arccos(a)) = a $ для любого $ a \in [-1, 1] $.

Поскольку $ 0,6 \in [-1, 1] $, то $ \cos(\arccos(0,6)) = 0,6 $.

Ответ: $ 0,6 $.

5) cos(arccos(−0,4));

По определению арккосинуса, $ \cos(\arccos(a)) = a $ для любого $ a \in [-1, 1] $.

Поскольку $ -0,4 \in [-1, 1] $, то $ \cos(\arccos(-0,4)) = -0,4 $.

Ответ: $ -0,4 $.

6) cos(−arccos($\frac{\sqrt{3}}{2}$)).

Сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.

$ \cos(-\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}) = \cos(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}) $.

Далее, по определению арккосинуса, $ \cos(\arccos(a)) = a $ для $ a \in [-1, 1] $.

Значение $ \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 $, что принадлежит отрезку $ [-1, 1] $.

Следовательно, $ \cos(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

17.2. Используя таблицы В. М. Брадиса, найдите значение выражения:

1) $arcsin0,2354$;

2) $arcsin0,7386$;

3) $arccos0,8351$;

4) $arccos0,3259$.

1) arcsin(0,2354)

Чтобы найти значение $ \arcsin(0,2354) $, мы ищем значение 0,2354 в таблице синусов В.М. Брадиса. Синус – функция возрастающая на отрезке $[0^\circ; 90^\circ]$, поэтому большему значению синуса соответствует больший угол.

1. Находим в таблице синусов ближайшее к 0,2354, но меньшее значение. Это значение 0,2351, которое соответствует углу $ 13^\circ 36' $. То есть, $ \sin(13^\circ 36') = 0,2351 $.

2. Вычисляем разницу между искомым значением и найденным в таблице: $ 0,2354 - 0,2351 = 0,0003 $.

3. Далее смотрим в поправочные столбцы в той же строке ($ 13^\circ $). Ищем поправку, равную 3 (имеется в виду последний разряд числа). Эта поправка соответствует $ 1' $.

4. Поскольку функция синуса возрастающая, и наше значение (0,2354) больше табличного (0,2351), мы должны прибавить эту поправку к найденному углу: $ 13^\circ 36' + 1' = 13^\circ 37' $.

Ответ: $ 13^\circ 37' $.

2) arcsin(0,7386)

Для нахождения $ \arcsin(0,7386) $ аналогично используем таблицу синусов.

1. Находим в таблице ближайшее меньшее значение. Это 0,7385, что соответствует $ \sin(47^\circ 36') $.

2. Вычисляем разницу: $ 0,7386 - 0,7385 = 0,0001 $.

3. В поправочных столбцах для строки $ 47^\circ $ ищем поправку, равную 1. Ближайшая поправка в таблице — это 2, которая соответствует $ 1' $. Принимаем эту поправку, так как она является самой близкой.

4. Прибавляем поправку к углу: $ 47^\circ 36' + 1' = 47^\circ 37' $.

Ответ: $ 47^\circ 37' $.

3) arccos(0,8351)

Для нахождения $ \arccos(0,8351) $ мы используем таблицу косинусов. Косинус – функция убывающая на отрезке $[0^\circ; 90^\circ]$, поэтому большему значению косинуса соответствует меньший угол.

1. Находим в таблице косинусов ближайшее к 0,8351, но большее значение. Это значение 0,8358, которое соответствует углу $ 33^\circ 18' $. То есть, $ \cos(33^\circ 18') = 0,8358 $.

2. Вычисляем разницу между табличным значением и нашим: $ 0,8358 - 0,8351 = 0,0007 $.

3. Поскольку косинус убывает, для получения меньшего значения косинуса (нашего 0,8351 вместо табличного 0,8358) нужно увеличить угол. Мы ищем поправку, равную 7, в поправочных столбцах для строки $ 33^\circ $. Поправки для косинуса вычитаются из значения функции. Ближайшие поправки — 6 (для $ 4' $) и 8 (для $ 5' $). Значение 7 находится ровно между ними, но обычно выбирают ближайшую или используют интерполяцию. Простая интерполяция показывает, что поправка соответствует примерно $ 4.2' $, что ближе к $ 4' $. Поэтому выбираем поправку в $ 4' $.

4. Прибавляем эту угловую поправку к найденному углу: $ 33^\circ 18' + 4' = 33^\circ 22' $.

Ответ: $ 33^\circ 22' $.

4) arccos(0,3259)

Для нахождения $ \arccos(0,3259) $ используем таблицу косинусов.

1. Ищем в таблице значения, между которыми находится 0,3259. Находим $ \cos(70^\circ 54') = 0,3272 $ и $ \cos(71^\circ 00') = 0,3256 $.

2. Наше значение 0,3259 очень близко к 0,3256. Поэтому удобнее отталкиваться от угла $ 71^\circ 00' $.

3. Вычисляем разницу: $ 0,3259 - 0,3256 = 0,0003 $.

4. Мы ищем угол, косинус которого больше, чем $ \cos(71^\circ 00') $. Так как косинус убывает, искомый угол должен быть меньше $ 71^\circ 00' $. Это означает, что мы должны вычесть минуты. Поправки в таблицах Брадиса показывают, на сколько уменьшится косинус при добавлении минут. Соответственно, при вычитании минут из угла косинус увеличится на величину поправки. Нам нужно увеличить косинус на 0,0003.

5. В поправочных столбцах для строки $ 70^\circ $ (поправки для $ 71^\circ $ будут почти такими же) ищем поправку, равную 3. Эта поправка соответствует $ 1' $.

6. Вычитаем эту поправку из угла: $ 71^\circ 00' - 1' = 70^\circ 59' $.

Ответ: $ 70^\circ 59' $.

17.3. Вычислите:

1) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 2\operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 3\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 4\operatorname{arcctg}(-1);$

2) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 4\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + \operatorname{arcctg}1;$

3) $2\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} - 2\operatorname{arctg}(-1) + \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right);$

4) $2\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) - \arccos (-1) - 2 \operatorname{arctg}\sqrt{3}.$

1) $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3\operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 4\operatorname{arcctg}(-1) $

Для решения этого примера нам необходимо знать значения основных обратных тригонометрических функций. Воспользуемся следующими свойствами и табличными значениями:

• $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, область значений $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $
• $ \operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x) $, область значений $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $
• $ \operatorname{arccos}(-x) = \pi - \operatorname{arccos}(x) $, область значений $ [0, \pi] $
• $ \operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x) $, область значений $ (0, \pi) $

Вычислим значение каждого слагаемого:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $

$ \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6} $

$ \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \operatorname{arccos}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \operatorname{arcctg}(-1) = \pi - \operatorname{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$ (-\frac{\pi}{4}) - 2(-\frac{\pi}{6}) + 3(\frac{5\pi}{6}) - 4(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{6} + \frac{15\pi}{6} - \frac{12\pi}{4} $

Упростим дроби:

$ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{2} - 3\pi $

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 12:

$ -\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + \frac{30\pi}{12} - \frac{36\pi}{12} = \frac{-3\pi + 4\pi + 30\pi - 36\pi}{12} = \frac{(-3+4+30-36)\pi}{12} = \frac{-5\pi}{12} $

Ответ: $ -\frac{5\pi}{12} $

2) $ \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-\frac{1}{2}) + \operatorname{arcctg}(1) $

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$ \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \operatorname{arccos}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} $

$ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $

$ \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4} $

Подставим значения в выражение:

$ \frac{5\pi}{6} + 4(-\frac{\pi}{3}) - (-\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} - \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} $

Сгруппируем слагаемые и приведем к общему знаменателю 12:

$ (\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) - \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{6} - \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4} $

$ \frac{12\pi}{12} - \frac{16\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{(12-16+3)\pi}{12} = -\frac{\pi}{12} $

Ответ: $ -\frac{\pi}{12} $

3) $ 2\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\operatorname{arctg}(-1) + \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) $

Вычислим значения обратных тригонометрических функций:

$ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $

$ \operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4} $

$ \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \operatorname{arccos}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $

$ \operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ 2(\frac{\pi}{3}) - 2(-\frac{\pi}{4}) + \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} $

Сгруппируем подобные слагаемые:

$ (\frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}) + (\frac{2\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}) = 0 + \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $

Ответ: $ \frac{5\pi}{4} $

4) $ 2\operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) - \operatorname{arccos}(-1) - 2\operatorname{arctg}\sqrt{3} $

Найдем значения каждого члена выражения:

$ \operatorname{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \operatorname{arccos}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

$ \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} $

$ \operatorname{arccos}(-1) = \pi $

$ \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} $

Подставим найденные значения в выражение:

$ 2(\frac{5\pi}{6}) + 2(-\frac{\pi}{3}) - \pi - 2(\frac{\pi}{3}) = \frac{10\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} - \pi - \frac{2\pi}{3} $

Упростим дробь и сгруппируем слагаемые:

$ \frac{5\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} - \pi = (\frac{5\pi - 2\pi - 2\pi}{3}) - \pi = \frac{\pi}{3} - \pi $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} $

Ответ: $ -\frac{2\pi}{3} $

17.4. Имеет ли смысл выражение:

1) $\sin(\arcsin2)$;

2) $\sin(\arcsin(-1.3))$;

3) $\sin\left(-\arcsin\frac{\sqrt{15}}{4}\right)$;

4) $\cos(\arccos1.6)$;

5) $\cos(\arccos(\sqrt{3} - 2))$;

6) $\cos(-\arccos7)?$

Для того чтобы определить, имеет ли смысл выражение, нужно проверить, входит ли аргумент обратной тригонометрической функции (арксинуса или арккосинуса) в ее область определения. Областью определения для функций $y = \arcsin(x)$ и $y = \arccos(x)$ является отрезок $[-1; 1]$. Если аргумент принадлежит этому отрезку, то выражение имеет смысл, так как функции синуса и косинуса определены для любых действительных чисел.

1) Выражение $sin(arcsin2)$.

Данное выражение имеет смысл, если определено внутреннее выражение $arcsin2$. Область определения функции арксинус — это отрезок $[-1; 1]$. Поскольку число $2$ не принадлежит этому отрезку ($2 > 1$), выражение $arcsin2$ не имеет смысла. Следовательно, и все выражение не имеет смысла.

Ответ: нет.

2) Выражение $sin(arcsin(-1,3))$.

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, проверяем аргумент функции арксинус. Число $-1,3$ не принадлежит области определения $[-1; 1]$, так как $-1,3 < -1$. Значит, выражение $arcsin(-1,3)$ не имеет смысла, а вместе с ним и все исходное выражение.

Ответ: нет.

3) Выражение $sin(-arcsin\frac{\sqrt{15}}{4})$.

Проверим, принадлежит ли аргумент арксинуса $\frac{\sqrt{15}}{4}$ отрезку $[-1; 1]$. Оценим значение $\sqrt{15}$. Так как $9 < 15 < 16$, то $\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}$, откуда следует, что $3 < \sqrt{15} < 4$. Разделив все части неравенства на $4$, получим $\frac{3}{4} < \frac{\sqrt{15}}{4} < 1$. Значение $\frac{\sqrt{15}}{4}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, выражение $arcsin\frac{\sqrt{15}}{4}$ определено и является некоторым числом. А значит, и все выражение $sin(-arcsin\frac{\sqrt{15}}{4})$ имеет смысл.

Ответ: да.

4) Выражение $cos(arccos1,6)$.

Данное выражение имеет смысл, если определено $arccos1,6$. Область определения функции арккосинус — это отрезок $[-1; 1]$. Число $1,6$ не входит в этот отрезок, так как $1,6 > 1$. Следовательно, выражение $arccos1,6$ не имеет смысла, и все исходное выражение тоже.

Ответ: нет.

5) Выражение $cos(arccos(\sqrt{3} - 2))$.

Проверим, принадлежит ли аргумент арккосинуса $\sqrt{3} - 2$ отрезку $[-1; 1]$. Мы знаем, что $1 < \sqrt{3} < 2$ (поскольку $1^2=1$, $3$, $2^2=4$). Вычтем $2$ из всех частей неравенства: $1 - 2 < \sqrt{3} - 2 < 2 - 2$, что дает $-1 < \sqrt{3} - 2 < 0$. Так как значение $\sqrt{3} - 2$ находится в интервале $(-1; 0)$, оно принадлежит области определения арккосинуса $[-1; 1]$. Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: да.

6) Выражение $cos(-arccos7)$.

Проверяем, определено ли выражение $arccos7$. Область определения арккосинуса — отрезок $[-1; 1]$. Число $7$ не принадлежит этому отрезку, так как $7 > 1$. Следовательно, выражение $arccos7$ не имеет смысла, а значит и все исходное выражение не имеет смысла.

Ответ: нет.

Вычислите (17.5–17.9):

17.5.1) $ \sin\left(\arccos\frac{1}{3}\right); $

2) $ \sin\left(\arccos\frac{2}{7}\right); $

3) $ \sin\left(2\arccos\frac{1}{4}\right); $

4) $ \sin\left(2\arcsin\frac{2}{3}\right). $

1) Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$. По определению арккосинуса, $\cos\alpha = \frac{1}{3}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.Для нахождения $\sin(\arccos\frac{1}{3}) = \sin\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.Отсюда $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.Поскольку угол $\alpha$ находится в диапазоне $[0, \pi]$, его синус неотрицателен ($\sin\alpha \ge 0$).Следовательно, $\sin\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

2) Пусть $\alpha = \arccos\frac{2}{7}$. По определению, $\cos\alpha = \frac{2}{7}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.Используем тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, чтобы найти $\sin\alpha$.$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{2}{7})^2 = 1 - \frac{4}{49} = \frac{45}{49}$.Так как $0 \le \alpha \le \pi$, то $\sin\alpha \ge 0$.Значит, $\sin\alpha = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{7} = \frac{3\sqrt{5}}{7}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{5}}{7}$

3) Для вычисления $\sin(2\arccos\frac{1}{4})$ применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{4}$. Тогда $\cos\alpha = \frac{1}{4}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.Сначала найдем $\sin\alpha$. Из основного тригонометрического тождества:$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, то $\sin\alpha \ge 0$, поэтому $\sin\alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.Теперь подставим значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ в формулу двойного угла:$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2\sqrt{15}}{16} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{8}$

4) Для вычисления $\sin(2\arcsin\frac{2}{3})$ используем ту же формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.Пусть $\alpha = \arcsin\frac{2}{3}$. По определению арксинуса, $\sin\alpha = \frac{2}{3}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.Найдем $\cos\alpha$ из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.Так как $\sin\alpha = \frac{2}{3} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$). В этом промежутке косинус неотрицателен ($\cos\alpha \ge 0$).Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.Подставляем найденные значения в формулу:$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{5}}{9}$

17.6.1)

$ \cos\left(\arccos\frac{1}{5}\right); $

2)

$ \cos\left(\arccos\left(-\frac{1}{6}\right)\right); $

3)

$ \cos\left(2\arccos\frac{1}{4}\right); $

4)

$ \sin\left(2\arccos\frac{1}{3}\right). $

1) По определению арккосинуса, для любого числа $a$, принадлежащего отрезку $[-1, 1]$, выполняется равенство: $\cos(\arccos a) = a$.

В данном случае $a = \frac{1}{5}$, и это значение находится в пределах от -1 до 1. Следовательно, $\cos(\arccos\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

2) Аналогично первому пункту, используем основное тождество $\cos(\arccos a) = a$ для $a \in [-1, 1]$.

Так как $a = -\frac{1}{6}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то $\cos(\arccos(-\frac{1}{6})) = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$

3) Для решения этого примера воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{4}$. Тогда $\cos(\alpha) = \cos(\arccos\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$.

Подставим это значение в формулу:

$\cos(2\arccos\frac{1}{4}) = 2\cos^2(\arccos\frac{1}{4}) - 1 = 2 \cdot (\frac{1}{4})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{16} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8}$.

Ответ: $-\frac{7}{8}$

4) Для решения этого примера воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$. Тогда $\cos(\alpha) = \cos(\arccos\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем $\sin(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Область значений арккосинуса — это отрезок $[0, \pi]$. Поскольку $\cos(\alpha) = \frac{1}{3} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$), где синус неотрицателен. Таким образом, $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Подставим найденные значения $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ в формулу синуса двойного угла:

$\sin(2\arccos\frac{1}{3}) = 2 \cdot \sin(\arccos\frac{1}{3}) \cdot \cos(\arccos\frac{1}{3}) = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{9}$