Страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Как выполнили преобразования:

1) $cos(2\arccos a) = \cos^2(\arccos a) - \sin^2(\arccos a) = 2a^2 - 1;$

2) $\mathrm{tg}(2\mathrm{arctg} a) = \frac{2\mathrm{tg}(\mathrm{arctg} a)}{1 - \mathrm{tg}^2(\mathrm{arctg} a)} = \frac{2a}{1 - a^2} ?$

1) cos(2arccosa) = cos²(arccosa) – sin²(arccosa) = 2a² – 1;

Это преобразование выполняется в два этапа с использованием тригонометрических формул и свойств обратных тригонометрических функций.

Этап 1: Применение формулы косинуса двойного угла.

Первое равенство $cos(2\arccos a) = cos^2(\arccos a) - sin^2(\arccos a)$ является прямым следствием формулы косинуса двойного угла, которая гласит: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. В данном случае в качестве аргумента $x$ выступает выражение $\arccos a$.

Этап 2: Упрощение выражения.

Чтобы получить из $cos^2(\arccos a) - sin^2(\arccos a)$ выражение $2a^2 - 1$, нужно упростить каждый член:

1. По определению арккосинуса, $cos(\arccos a) = a$. Это равенство верно для всех $a$ из отрезка $[-1, 1]$. Возводя обе части в квадрат, получаем: $cos^2(\arccos a) = a^2$.

2. Для нахождения $sin^2(\arccos a)$ используется основное тригонометрическое тождество: $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Если подставить $x = \arccos a$, получим: $sin^2(\arccos a) + cos^2(\arccos a) = 1$. Мы уже знаем, что $cos^2(\arccos a) = a^2$, поэтому $sin^2(\arccos a) + a^2 = 1$, откуда следует, что $sin^2(\arccos a) = 1 - a^2$.

3. Теперь подставим полученные выражения $a^2$ и $1 - a^2$ в формулу из первого этапа:$cos^2(\arccos a) - sin^2(\arccos a) = a^2 - (1 - a^2) = a^2 - 1 + a^2 = 2a^2 - 1$.

Стоит отметить, что можно было прийти к результату быстрее, использовав другую формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$. Тогда: $cos(2\arccos a) = 2cos^2(\arccos a) - 1 = 2a^2 - 1$.

Ответ: Преобразование выполнено с помощью формулы косинуса двойного угла и основного тригонометрического тождества, а также определения арккосинуса.

2) tg(2arctga) = (2tg(arctga))/(1 - tg²(arctga)) = (2a)/(1 - a²)?

Это преобразование аналогично предыдущему, но использует формулу для тангенса двойного угла.

Этап 1: Применение формулы тангенса двойного угла.

Первое равенство $tg(2\operatorname{arctg} a) = \frac{2tg(\operatorname{arctg} a)}{1 - tg^2(\operatorname{arctg} a)}$ — это прямое применение формулы тангенса двойного угла: $tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1 - tg^2(x)}$, где в качестве $x$ выступает $\operatorname{arctg} a$.

Этап 2: Упрощение выражения.

Чтобы получить итоговую дробь, необходимо использовать определение арктангенса:

1. По определению, $tg(\operatorname{arctg} a) = a$. Это равенство верно для любого действительного числа $a$.

2. Теперь подставим это значение в числитель и знаменатель дроби из первого этапа:

• Числитель: $2tg(\operatorname{arctg} a) = 2a$.

• Знаменатель: $1 - tg^2(\operatorname{arctg} a) = 1 - (tg(\operatorname{arctg} a))^2 = 1 - a^2$.

Соединив числитель и знаменатель, получаем итоговое выражение: $\frac{2a}{1 - a^2}$. Это преобразование верно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $1 - a^2 \neq 0$, что означает $a \neq \pm1$.

Ответ: Преобразование выполнено с помощью формулы тангенса двойного угла и определения арктангенса.

1. Почему в результате выполнения какого-либо тригонометрического преобразования над выражением, содержащим арксинус, арккосинус, арктангенс или арккотангенс, получается алгебраическое выражение?

2. Какие значения может принимать число $a$ в выражении: 1) $\text{tg}(\text{arcctg}a)$; 2) $\text{ctg}(\text{arccos}a)$; 3) $\text{tg}(\text{arccos}a)$; 4) $\cos(\text{arcctg}a)$?

1. Это происходит потому, что обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т.д.) по своему определению возвращают угол. Когда мы применяем к такому результату тригонометрическую функцию (синус, косинус и т.д.), мы, по сути, находим значение одной тригонометрической функции угла, зная значение другой.

Рассмотрим на примере выражения $cos(arcsin(a))$.

Пусть $y = arcsin(a)$. Согласно определению арксинуса, это означает, что $sin(y) = a$, причем угол $y$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Теперь нам нужно найти $cos(y)$. Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество: $sin^2(y) + cos^2(y) = 1$.

Выразим $cos(y)$:

$cos^2(y) = 1 - sin^2(y)$

$cos(y) = \pm\sqrt{1 - sin^2(y)}$

Поскольку мы знаем, что $y$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а косинус в этом диапазоне неотрицателен ($cos(y) \ge 0$), мы выбираем знак плюс:

$cos(y) = \sqrt{1 - sin^2(y)}$

Теперь подставим $sin(y) = a$ в это выражение:

$cos(arcsin(a)) = \sqrt{1 - a^2}$

Как мы видим, итоговое выражение $\sqrt{1 - a^2}$ является алгебраическим: оно содержит только переменную $a$ и алгебраические операции (вычитание, возведение в степень, извлечение корня). В нем нет тригонометрических функций. Этот же принцип, основанный на использовании тригонометрических тождеств, применим к любым комбинациям тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Ответ: В результате такого преобразования мы используем тригонометрические тождества для выражения одной функции через другую. Так как значение внутренней аркфункции от аргумента $a$ известно, итоговое выражение зависит только от $a$ и алгебраических операций, заложенных в тождествах.

2. 1) tg(arcctg a)

Область определения внутренней функции $arcctg(a)$ — все действительные числа, то есть $a \in (-\infty, +\infty)$. Диапазон значений $arcctg(a)$ — интервал $(0, \pi)$. Внешняя функция $tg(y)$ не определена, когда ее аргумент $y$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Из диапазона $(0, \pi)$ нам нужно исключить точку $y = \frac{\pi}{2}$. Найдем, при каком значении $a$ это происходит: $arcctg(a) = \frac{\pi}{2}$. Это равенство выполняется при $a = ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$. Следовательно, $a$ не может быть равно нулю.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2) ctg(arccos a)

Область определения внутренней функции $arccos(a)$ — отрезок $[-1, 1]$. Диапазон значений $arccos(a)$ — отрезок $[0, \pi]$. Внешняя функция $ctg(y)$ не определена, когда ее аргумент $y$ равен $\pi k$, где $k$ — целое число. Из диапазона $[0, \pi]$ нам нужно исключить точки $y = 0$ и $y = \pi$.

$arccos(a) = 0 \implies a = cos(0) = 1$.

$arccos(a) = \pi \implies a = cos(\pi) = -1$.

Следовательно, $a$ не может быть равно $1$ и $-1$. Объединяя с областью определения, получаем, что $a$ должно быть в интервале $(-1, 1)$.

Ответ: $a \in (-1, 1)$.

3) tg(arccos a)

Область определения внутренней функции $arccos(a)$ — отрезок $[-1, 1]$. Диапазон значений $arccos(a)$ — отрезок $[0, \pi]$. Внешняя функция $tg(y)$ не определена, когда ее аргумент $y$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Из диапазона $[0, \pi]$ нам нужно исключить точку $y = \frac{\pi}{2}$.

$arccos(a) = \frac{\pi}{2} \implies a = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Следовательно, $a$ не может быть равно нулю. Объединяя с областью определения, получаем, что $a$ может принимать любые значения из отрезка $[-1, 1]$, кроме нуля.

Ответ: $a \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

4) cos(arcctg a)

Область определения внутренней функции $arcctg(a)$ — все действительные числа, $a \in (-\infty, +\infty)$. Диапазон значений $arcctg(a)$ — интервал $(0, \pi)$. Внешняя функция $cos(y)$ определена для любых действительных значений аргумента $y$. Поскольку диапазон внутренней функции полностью входит в область определения внешней функции, никаких дополнительных ограничений на $a$ не накладывается.

Ответ: $a \in (-\infty, +\infty)$.

Убедитесь, что подставляя в выражение $q^{k-1}p$ вместо $k$ числа 1, 2, ..., получим геометрическую прогрессию: $p, pq, pq^2, pq^3, ...$.

Назовите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Почему эта прогрессия является бесконечно убывающей?

Убедитесь, что подставляя в выражение $q^{k-1}p$ вместо $k$ числа 1, 2, ..., получим геометрическую прогрессию: $p, pq, pq^2, pq^3, ...$.

Обозначим k-й член последовательности как $b_k$. По формуле общего члена $b_k = q^{k-1}p$. Последовательно подставим натуральные числа вместо $k$, начиная с 1.

При $k=1$: $b_1 = q^{1-1}p = q^0p = 1 \cdot p = p$.

При $k=2$: $b_2 = q^{2-1}p = q^1p = pq$.

При $k=3$: $b_3 = q^{3-1}p = q^2p = pq^2$.

При $k=4$: $b_4 = q^{4-1}p = q^3p = pq^3$.

Полученная последовательность членов: $p, pq, pq^2, pq^3, \dots$, что соответствует последовательности в условии.

Теперь убедимся, что это геометрическая прогрессия. Для этого необходимо показать, что отношение любого члена последовательности (начиная со второго) к предыдущему члену является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем прогрессии.

Найдем отношение $(k+1)$-го члена к $k$-му члену:

$\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{q^{(k+1)-1}p}{q^{k-1}p} = \frac{q^k p}{q^{k-1}p} = q^{k-(k-1)} = q^1 = q$.

Поскольку отношение постоянно и равно $q$, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Мы убедились, что подстановка чисел $k=1, 2, 3, ...$ в выражение $q^{k-1}p$ формирует геометрическую прогрессию $p, pq, pq^2, ...$ .

Назовите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Как было вычислено ранее, первый член прогрессии $b_1$ (при $k=1$) равен $p$.

Знаменателем геометрической прогрессии является постоянное отношение последующего члена к предыдущему, которое, как мы показали, равно $q$.

Ответ: Первый член прогрессии — $p$, знаменатель прогрессии — $q$.

Почему эта прогрессия является бесконечно убывающей?

Геометрическая прогрессия считается бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя строго меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Данная формула $b_k = q^{k-1}p$ часто используется в теории вероятностей для описания геометрического распределения, где $p$ — это вероятность «успеха», а $q = 1-p$ — вероятность «неудачи» в одном испытании Бернулли. В таком контексте, если успех и неудача — не невозможные события, то $0 < p < 1$ и, соответственно, $0 < q < 1$.

Так как $q$ — положительное число, меньшее 1, условие $|q| = q < 1$ выполняется. Именно это и является критерием бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ответ: Эта прогрессия является бесконечно убывающей, потому что её знаменатель $q$ удовлетворяет условию $|q| < 1$. В контексте, из которого обычно берется эта формула, $q$ является вероятностью, поэтому $0 < q < 1$.