Задания, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Убедитесь, что подставляя в выражение $q^{k-1}p$ вместо $k$ числа 1, 2, ..., получим геометрическую прогрессию: $p, pq, pq^2, pq^3, ...$.

Назовите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Почему эта прогрессия является бесконечно убывающей?

Убедитесь, что подставляя в выражение $q^{k-1}p$ вместо $k$ числа 1, 2, ..., получим геометрическую прогрессию: $p, pq, pq^2, pq^3, ...$.

Обозначим k-й член последовательности как $b_k$. По формуле общего члена $b_k = q^{k-1}p$. Последовательно подставим натуральные числа вместо $k$, начиная с 1.

При $k=1$: $b_1 = q^{1-1}p = q^0p = 1 \cdot p = p$.

При $k=2$: $b_2 = q^{2-1}p = q^1p = pq$.

При $k=3$: $b_3 = q^{3-1}p = q^2p = pq^2$.

При $k=4$: $b_4 = q^{4-1}p = q^3p = pq^3$.

Полученная последовательность членов: $p, pq, pq^2, pq^3, \dots$, что соответствует последовательности в условии.

Теперь убедимся, что это геометрическая прогрессия. Для этого необходимо показать, что отношение любого члена последовательности (начиная со второго) к предыдущему члену является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем прогрессии.

Найдем отношение $(k+1)$-го члена к $k$-му члену:

$\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{q^{(k+1)-1}p}{q^{k-1}p} = \frac{q^k p}{q^{k-1}p} = q^{k-(k-1)} = q^1 = q$.

Поскольку отношение постоянно и равно $q$, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Мы убедились, что подстановка чисел $k=1, 2, 3, ...$ в выражение $q^{k-1}p$ формирует геометрическую прогрессию $p, pq, pq^2, ...$ .

Назовите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Как было вычислено ранее, первый член прогрессии $b_1$ (при $k=1$) равен $p$.

Знаменателем геометрической прогрессии является постоянное отношение последующего члена к предыдущему, которое, как мы показали, равно $q$.

Ответ: Первый член прогрессии — $p$, знаменатель прогрессии — $q$.

Почему эта прогрессия является бесконечно убывающей?

Геометрическая прогрессия считается бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя строго меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Данная формула $b_k = q^{k-1}p$ часто используется в теории вероятностей для описания геометрического распределения, где $p$ — это вероятность «успеха», а $q = 1-p$ — вероятность «неудачи» в одном испытании Бернулли. В таком контексте, если успех и неудача — не невозможные события, то $0 < p < 1$ и, соответственно, $0 < q < 1$.

Так как $q$ — положительное число, меньшее 1, условие $|q| = q < 1$ выполняется. Именно это и является критерием бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ответ: Эта прогрессия является бесконечно убывающей, потому что её знаменатель $q$ удовлетворяет условию $|q| < 1$. В контексте, из которого обычно берется эта формула, $q$ является вероятностью, поэтому $0 < q < 1$.