Номер 54.6, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54.6. В классе 21 учащийся, из них 5 девочек. Для посещения музея наудачу выбирают трех учащихся. Составьте ряд распределения дискретной случайной величины $X$ — числа девочек из отобранных учащихся. Найдите математическое ожидание величины $X$.

В классе 21 учащийся: 5 девочек и $21 - 5 = 16$ мальчиков. Для посещения музея случайным образом выбирают 3 учащихся.Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу девочек среди трех отобранных учащихся. Возможные значения, которые может принимать $X$: 0, 1, 2, 3.

Общее число способов выбрать 3 учащихся из 21 равно числу сочетаний $C_{21}^3$:$C_{21}^3 = \frac{21!}{3!(21-3)!} = \frac{21 \times 20 \times 19}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 10 \times 19 = 1330$.Это общее число равновозможных исходов.

Составьте ряд распределения дискретной случайной величины X — числа девочек из отобранных учащихся.

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$, используя классическое определение вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n = 1330$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятствующих исходов.

Вероятность $P(X=k)$ того, что будет выбрано $k$ девочек (и, соответственно, $3-k$ мальчиков), вычисляется по формуле:$P(X=k) = \frac{C_5^k \times C_{16}^{3-k}}{C_{21}^3}$.

• $P(X=0)$: выбрано 0 девочек и 3 мальчика. $P(X=0) = \frac{C_5^0 \times C_{16}^3}{1330} = \frac{1 \times \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1}}{1330} = \frac{560}{1330} = \frac{56}{133}$.
• $P(X=1)$: выбрана 1 девочка и 2 мальчика. $P(X=1) = \frac{C_5^1 \times C_{16}^2}{1330} = \frac{5 \times \frac{16 \times 15}{2 \times 1}}{1330} = \frac{5 \times 120}{1330} = \frac{600}{1330} = \frac{60}{133}$.
• $P(X=2)$: выбраны 2 девочки и 1 мальчик. $P(X=2) = \frac{C_5^2 \times C_{16}^1}{1330} = \frac{\frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 16}{1330} = \frac{10 \times 16}{1330} = \frac{160}{1330} = \frac{16}{133}$.
• $P(X=3)$: выбраны 3 девочки и 0 мальчиков. $P(X=3) = \frac{C_5^3 \times C_{16}^0}{1330} = \frac{\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times 1}{1330} = \frac{10 \times 1}{1330} = \frac{10}{1330} = \frac{1}{133}$.

Сделаем проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.$\frac{56}{133} + \frac{60}{133} + \frac{16}{133} + \frac{1}{133} = \frac{56+60+16+1}{133} = \frac{133}{133} = 1$.

Таким образом, ряд распределения случайной величины $X$ имеет вид:

$X_i$ | 0 | 1 | 2 | 3

--- | --- | --- | --- | ---

$p_i$ | $\frac{56}{133}$ | $\frac{60}{133}$ | $\frac{16}{133}$ | $\frac{1}{133}$

Ответ: Ряд распределения величины X задается вероятностями: $P(X=0) = \frac{56}{133}$, $P(X=1) = \frac{60}{133}$, $P(X=2) = \frac{16}{133}$, $P(X=3) = \frac{1}{133}$.

Найдите математическое ожидание величины X.

Математическое ожидание $E(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:$E(X) = \sum_{i} x_i p_i$.Подставим в формулу значения $X$ и соответствующие им вероятности:

$E(X) = 0 \times \frac{56}{133} + 1 \times \frac{60}{133} + 2 \times \frac{16}{133} + 3 \times \frac{1}{133}$

$E(X) = 0 + \frac{60}{133} + \frac{32}{133} + \frac{3}{133} = \frac{60 + 32 + 3}{133} = \frac{95}{133}$

Сократим полученную дробь. Разложим числитель и знаменатель на простые множители: $95 = 5 \times 19$, $133 = 7 \times 19$.$E(X) = \frac{5 \times 19}{7 \times 19} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $E(X) = \frac{5}{7}$.