Номер 54.9, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54.9. В приборе стоят 6 одинаковых предохранителей. Для каждого из них вероятность испортиться после 1000 часов работы равна 0,4. Прибор требует ремонта, если испортилось не менее двух предохранителей. Найдите вероятность того, что прибор потребует ремонта после 1000 часов работы, если предохранители портятся независимо друг от друга.

Это задача на использование формулы Бернулли для биномиального распределения. У нас есть серия из $n$ независимых испытаний (проверка каждого предохранителя), где в каждом испытании есть два исхода: "успех" (предохранитель испортился) и "неудача" (предохранитель не испортился).

Введем следующие обозначения:

• $n = 6$ — общее количество предохранителей (испытаний).
• $p = 0.4$ — вероятность того, что предохранитель испортится ("успех").
• $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$ — вероятность того, что предохранитель не испортится ("неудача").

Прибор требует ремонта, если испортилось не менее двух предохранителей. Это означает, что количество испорченных предохранителей $k$ может быть равно 2, 3, 4, 5 или 6. Нам нужно найти вероятность события $A$, где $k \ge 2$.

Проще найти вероятность противоположного (дополнительного) события $\bar{A}$, которое заключается в том, что испортилось менее двух предохранителей, то есть 0 или 1. Затем найти искомую вероятность по формуле $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Вероятность того, что из $n$ испытаний будет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

1. Найдем вероятность того, что не испортился ни один предохранитель (k=0):

$P_6(0) = C_6^0 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^{6-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0.6)^6 = 0.046656$.

2. Найдем вероятность того, что испортился ровно один предохранитель (k=1):

$P_6(1) = C_6^1 \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^{6-1} = 6 \cdot 0.4 \cdot (0.6)^5 = 2.4 \cdot 0.07776 = 0.186624$.

3. Найдем вероятность дополнительного события $\bar{A}$ (испортилось менее двух предохранителей):

$P(\bar{A}) = P_6(0) + P_6(1) = 0.046656 + 0.186624 = 0.23328$.

4. Найдем искомую вероятность $P(A)$ (испортилось не менее двух предохранителей):

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.23328 = 0.76672$.

Ответ: $0.76672$