Номер 54.8, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54.8. Вероятность появления события А в испытании равна 0,25. Испытания повторяли независимым образом десять раз. Найдите вероятность того, что событие А появится не более двух раз.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, так как проводятся независимые испытания с двумя исходами (событие А произошло или не произошло) и постоянной вероятностью успеха.

Введем обозначения:

$n = 10$ — общее количество испытаний.

$p = 0,25$ — вероятность появления события А (успех) в одном испытании.

$q = 1 - p = 1 - 0,25 = 0,75$ — вероятность того, что событие А не появится (неудача).

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие А наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Событие "А появится не более двух раз" означает, что оно произойдет 0 раз, 1 раз или 2 раза. Так как эти три события несовместны, искомая вероятность равна сумме их вероятностей:

$P(k \le 2) = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2)$

Вычислим каждое слагаемое:

1. Вероятность того, что событие А не появится ни разу ($k=0$):

$P_{10}(0) = C_{10}^0 \cdot (0,25)^0 \cdot (0,75)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0,75)^{10} \approx 0,0563$

2. Вероятность того, что событие А появится ровно один раз ($k=1$):

$P_{10}(1) = C_{10}^1 \cdot (0,25)^1 \cdot (0,75)^9 = 10 \cdot 0,25 \cdot (0,75)^9 \approx 2,5 \cdot 0,0751 \approx 0,1877$

3. Вероятность того, что событие А появится ровно два раза ($k=2$):

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$

$P_{10}(2) = C_{10}^2 \cdot (0,25)^2 \cdot (0,75)^8 = 45 \cdot 0,0625 \cdot (0,75)^8 \approx 2,8125 \cdot 0,1001 \approx 0,2816$

Теперь сложим полученные вероятности:

$P(k \le 2) \approx 0,0563 + 0,1877 + 0,2816 = 0,5256$

Можно провести и точные вычисления, используя обыкновенные дроби $p=\frac{1}{4}$ и $q=\frac{3}{4}$:

$P(k \le 2) = (\frac{3}{4})^{10} + 10 \cdot \frac{1}{4} \cdot (\frac{3}{4})^9 + 45 \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^8 = \frac{3^{10}}{4^{10}} + \frac{10 \cdot 3^9}{4^{10}} + \frac{45 \cdot 3^8}{4^{10}}$

$P(k \le 2) = \frac{3^8}{4^{10}}(3^2 + 10 \cdot 3 + 45) = \frac{3^8}{4^{10}}(9 + 30 + 45) = \frac{6561 \cdot 84}{1048576} = \frac{551124}{1048576} \approx 0,5256$

Ответ: Вероятность того, что событие А появится не более двух раз, равна приблизительно 0,5256.