Номер 4, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Стрелок производит три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле составляет 0,6. Составьте закон распределения числа попаданий. Найдите наибольшее значение вероятности попаданий:

A) 0,216;

B) 0,26;

C) 0,3;

D) 0,31.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу попаданий в мишень при трех выстрелах. Это серия из $n=3$ независимых испытаний (выстрелов). Вероятность успеха (попадания) в каждом испытании постоянна и равна $p=0.6$. Вероятность неудачи (промаха) равна $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$.

Данная ситуация описывается биномиальным распределением. Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:

$P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Составьте закон распределения числа попаданий.

Для этого вычислим вероятности для всех возможных значений числа попаданий $k \in \{0, 1, 2, 3\}$.

- Вероятность не попасть ни разу ($k=0$):

$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.064 = 0.064$.

- Вероятность попасть ровно один раз ($k=1$):

$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^2 = 3 \cdot 0.6 \cdot 0.16 = 0.288$.

- Вероятность попасть ровно два раза ($k=2$):

$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^1 = 3 \cdot 0.36 \cdot 0.4 = 0.432$.

- Вероятность попасть все три раза ($k=3$):

$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^0 = 1 \cdot 0.216 \cdot 1 = 0.216$.

Законом распределения является набор этих вероятностей для каждого значения случайной величины.

Найдите наибольшее значение вероятности попаданий:

Сравниваем полученные вероятности: $0.064$, $0.288$, $0.432$, $0.216$.

Наибольшее из этих значений — $0.432$. Оно соответствует наиболее вероятному исходу — двум попаданиям.

Среди предложенных вариантов (А) 0,216; B) 0,26; C) 0,3; D) 0,31) нет правильного. Вариант А) 0.216 является вероятностью трех попаданий, но не наибольшей. Таким образом, в предложенных вариантах ответа, скорее всего, содержится ошибка.

Ответ: 0.432