Номер 9, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9. Производится серия из 5 независимых испытаний. Событие X имеет вероятность $p = 0,8$. Найдите вероятность появления события X при этих испытаниях ровно три раза:

A) $\approx 0,352$; B) $\approx 0,296$; C) $\approx 0,306$; D) $\approx 0,307$.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления события ровно $k$ раз в серии из $n$ независимых испытаний.

Формула Бернулли:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

$n$ — общее количество испытаний;

$k$ — количество "успешных" исходов (появлений события X);

$p$ — вероятность "успеха" в одном испытании;

$q$ — вероятность "неудачи" в одном испытании, $q = 1 - p$;

$C_n^k$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $k$), который рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Исходя из условия задачи, мы имеем следующие параметры:

- Число испытаний: $n = 5$.

- Вероятность появления события X в одном испытании: $p = 0,8$.

- Требуемое число появлений события X: $k = 3$.

1. Найдем вероятность противоположного события (неудачи) $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

2. Рассчитаем биномиальный коэффициент $C_5^3$:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (1 \cdot 2)} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$.

Это означает, что существует 10 способов, которыми событие X может произойти ровно 3 раза в 5 испытаниях.

3. Подставим все найденные значения в формулу Бернулли:

$P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{n-k} = 10 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^{5-3} = 10 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^2$.

4. Выполним вычисления:

$(0,8)^3 = 0,512$

$(0,2)^2 = 0,04$

$P_5(3) = 10 \cdot 0,512 \cdot 0,04 = 5,12 \cdot 0,04 = 0,2048$.

Таким образом, вероятность появления события X ровно три раза в серии из 5 испытаний составляет $0,2048$.

Полученный результат не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа. Наиболее вероятно, в условии задачи или в вариантах ответа содержится опечатка. Расчет, приведенный выше, является математически верным для данных из условия.

Ответ: $0,2048$