Номер 4, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x^3 - 2\sqrt{x}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = 3 + (2x - 1)^2 + 4\sqrt{x}$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = 3\sqrt{2x} - \frac{5}{x} + 2x - 1$, $x_0 = 1$;

4) $f(x) = (3x + 4)^2 + \frac{4}{x + 1}$, $x_0 = -2$;

5) $f(x) = \sin(3x - 2\pi) + \pi$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

6) $f(x) = \cos(2x - \pi) + \pi$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 2\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения значения производной в точке, сначала найдем производную функции $f(x)$.

Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: $f(x) = x^3 - 2x^{1/2}$.

Используем правила дифференцирования (производная разности, производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$):

$f'(x) = (x^3 - 2x^{1/2})' = (x^3)' - (2x^{1/2})' = 3x^{3-1} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 3x^2 - x^{-1/2} = 3x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = 3(1)^2 - \frac{1}{\sqrt{1}} = 3 \cdot 1 - 1 = 2$.

Ответ: 2

2) Дана функция $f(x) = 3 + (2x - 1)^2 + 4\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило для производной суммы, производную сложной функции и производную степенной функции.

$f'(x) = (3)' + ((2x - 1)^2)' + (4x^{1/2})'$.

Производная константы $(3)' = 0$.

Производная сложной функции $((2x - 1)^2)' = 2(2x-1)^{2-1} \cdot (2x-1)' = 2(2x-1) \cdot 2 = 4(2x-1) = 8x-4$.

Производная степенной функции $(4x^{1/2})' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Складываем полученные производные:

$f'(x) = 0 + 8x - 4 + \frac{2}{\sqrt{x}} = 8x - 4 + \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Подставим значение $x_0 = 1$ в производную:

$f'(1) = 8(1) - 4 + \frac{2}{\sqrt{1}} = 8 - 4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

3) Дана функция $f(x) = 3\sqrt{2x} - \frac{5}{x} + 2x - 1$ и точка $x_0 = 1$.

Перепишем функцию в виде степеней: $f(x) = 3(2x)^{1/2} - 5x^{-1} + 2x - 1$.

Найдем производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (3(2x)^{1/2})' - (5x^{-1})' + (2x)' - (1)'$.

$(3(2x)^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot (2x)' = 3 \cdot \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot 2 = 3(2x)^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{2x}}$.

$(-5x^{-1})' = -5(-1)x^{-2} = \frac{5}{x^2}$.

$(2x)' = 2$.

$(-1)' = 0$.

Таким образом, $f'(x) = \frac{3}{\sqrt{2x}} + \frac{5}{x^2} + 2$.

Подставим $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{3}{\sqrt{2 \cdot 1}} + \frac{5}{1^2} + 2 = \frac{3}{\sqrt{2}} + 5 + 2 = 7 + \frac{3}{\sqrt{2}} = 7 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $7 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

4) Дана функция $f(x) = (3x + 4)^2 + \frac{4}{x+1}$ и точка $x_0 = -2$.

Найдем производную $f'(x)$.

Для первого слагаемого используем производную сложной функции:

$((3x + 4)^2)' = 2(3x+4) \cdot (3x+4)' = 2(3x+4) \cdot 3 = 6(3x+4) = 18x+24$.

Для второго слагаемого перепишем его как $4(x+1)^{-1}$ и найдем производную:

$(\frac{4}{x+1})' = (4(x+1)^{-1})' = 4 \cdot (-1)(x+1)^{-2} \cdot (x+1)' = -4(x+1)^{-2} = -\frac{4}{(x+1)^2}$.

Следовательно, $f'(x) = 18x + 24 - \frac{4}{(x+1)^2}$.

Подставим $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 18(-2) + 24 - \frac{4}{(-2+1)^2} = -36 + 24 - \frac{4}{(-1)^2} = -12 - \frac{4}{1} = -12 - 4 = -16$.

Ответ: -16

5) Дана функция $f(x) = \sin(3x - 2\pi) + \pi$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Сначала можно упростить функцию, используя свойство периодичности синуса $\sin(\alpha - 2\pi) = \sin(\alpha)$:

$f(x) = \sin(3x) + \pi$.

Теперь найдем производную:

$f'(x) = (\sin(3x) + \pi)' = (\sin(3x))' + (\pi)'$.

Используем правило дифференцирования сложной функции: $(\sin(u))' = \cos(u) \cdot u'$.

$(\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

Производная константы $\pi$ равна нулю: $(\pi)' = 0$.

$f'(x) = 3\cos(3x)$.

Подставим $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 3\cos(\pi) = 3 \cdot (-1) = -3$.

Ответ: -3

6) Дана функция $f(x) = \cos(2x - \pi) + \pi$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Сначала можно упростить функцию, используя формулу приведения $\cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha)$:

$f(x) = -\cos(2x) + \pi$.

Теперь найдем производную:

$f'(x) = (-\cos(2x) + \pi)' = (-\cos(2x))' + (\pi)'$.

Используем правило дифференцирования сложной функции: $(\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'$.

$(-\cos(2x))' = -(-\sin(2x)) \cdot (2x)' = \sin(2x) \cdot 2 = 2\sin(2x)$.

Производная константы $\pi$ равна нулю: $(\pi)' = 0$.

$f'(x) = 2\sin(2x)$.

Подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2