Номер 7, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$:

1) $y = x^4 - 8x^2 - 9$ на промежутке $[0; 3];

2) $y = 3x^5 - 5x^3$ на промежутке $[2; 3];

3) $y = \sqrt{x} - x$ на промежутке $[0; 4];

4) $y = \frac{1}{x} + x$ на промежутке $[0,5; 4].

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^4 - 8x^2 - 9$ на промежутке $[0; 3]$ воспользуемся стандартным алгоритмом.

1. Найдем производную функции: $y' = (x^4 - 8x^2 - 9)' = 4x^3 - 16x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $4x^3 - 16x = 0$.

Вынесем общий множитель за скобки: $4x(x^2 - 4) = 0$, что равносильно $4x(x - 2)(x + 2) = 0$.

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$, $x_2 = 2$ и $x_3 = -2$.

3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[0; 3]$.

Точки $x=0$ и $x=2$ принадлежат промежутку, а точка $x=-2$ — нет.

4. Вычислим значения функции в найденных критических точках и на концах промежутка, то есть в точках $x=0$, $x=2$ и $x=3$.

$y(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 - 9 = -9$.

$y(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 - 9 = 16 - 8 \cdot 4 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$.

$y(3) = 3^4 - 8 \cdot 3^2 - 9 = 81 - 8 \cdot 9 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$.

5. Сравниваем полученные значения: $-9$, $-25$, $0$.

Наибольшее значение функции на промежутке равно $0$, а наименьшее — $-25$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 0$, наименьшее значение $y_{наим} = -25$.

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = 3x^5 - 5x^3$ на промежутке $[2; 3]$.

1. Найдем производную функции: $y' = (3x^5 - 5x^3)' = 15x^4 - 15x^2$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y'=0$: $15x^4 - 15x^2 = 0$.

Вынесем множитель: $15x^2(x^2 - 1) = 0$, или $15x^2(x - 1)(x + 1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

3. Ни одна из найденных критических точек не попадает в промежуток $[2; 3]$.

4. В таком случае наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=2$ и $x=3$.

$y(2) = 3 \cdot 2^5 - 5 \cdot 2^3 = 3 \cdot 32 - 5 \cdot 8 = 96 - 40 = 56$.

$y(3) = 3 \cdot 3^5 - 5 \cdot 3^3 = 3 \cdot 243 - 5 \cdot 27 = 729 - 135 = 594$.

5. Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение равно $594$, а наименьшее — $56$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 594$, наименьшее значение $y_{наим} = 56$.

3) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt{x} - x$ на промежутке $[0; 4]$.

1. Найдем производную функции: $y' = (\sqrt{x} - x)' = (x^{1/2} - x)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.

Производная не определена в точке $x=0$, которая является концом отрезка.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y'=0$: $\frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 0$.

Отсюда $\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$, что дает $2\sqrt{x} = 1$, или $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$. Возведя в квадрат, получаем $x = \frac{1}{4}$.

3. Критическая точка $x = \frac{1}{4}$ принадлежит промежутку $[0; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x = \frac{1}{4}$ и на концах промежутка $x=0$ и $x=4$.

$y(0) = \sqrt{0} - 0 = 0$.

$y\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = 0.25$.

$y(4) = \sqrt{4} - 4 = 2 - 4 = -2$.

5. Сравнивая значения $0$, $0.25$ и $-2$, находим, что наибольшее значение равно $0.25$, а наименьшее равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 0.25$, наименьшее значение $y_{наим} = -2$.

4) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = \frac{1}{x} + x$ на промежутке $[0.5; 4]$.

1. Найдем производную функции: $y' = (\frac{1}{x} + x)' = (x^{-1} + x)' = -x^{-2} + 1 = -\frac{1}{x^2} + 1$.

2. Найдем критические точки из уравнения $y'=0$: $-\frac{1}{x^2} + 1 = 0$.

Отсюда $\frac{1}{x^2} = 1$, что дает $x^2 = 1$. Корни: $x = 1$ и $x = -1$.

3. Промежутку $[0.5; 4]$ принадлежит только критическая точка $x = 1$.

4. Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка $x=0.5$ и $x=4$.

$y(0.5) = \frac{1}{0.5} + 0.5 = 2 + 0.5 = 2.5$.

$y(1) = \frac{1}{1} + 1 = 2$.

$y(4) = \frac{1}{4} + 4 = 0.25 + 4 = 4.25$.

5. Сравнивая значения $2.5$, $2$ и $4.25$, заключаем, что наибольшее значение равно $4.25$, а наименьшее — $2$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 4.25$, наименьшее значение $y_{наим} = 2$.