Номер 12, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12. Найдите значение второй производной функции $f(x) = x + \sqrt{1 + x^2}$ при $x = 2$.

Для нахождения значения второй производной функции $f(x) = x + \sqrt{1 + x^2}$ при $x = 2$, необходимо последовательно найти первую и вторую производные.

1. Нахождение первой производной $f'(x)$

Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = (x + \sqrt{1 + x^2})' = (x)' + (\sqrt{1+x^2})'$

Производная первого слагаемого: $(x)' = 1$.

Для второго слагаемого $\sqrt{1+x^2} = (1+x^2)^{1/2}$ применяем цепное правило:

$(\sqrt{1+x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot (1+x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

Таким образом, первая производная равна:

$f'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

2. Нахождение второй производной $f''(x)$

Теперь дифференцируем первую производную $f'(x)$:

$f''(x) = (1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}})' = (1)' + (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})'$.

Производная константы $(1)'$ равна 0.

Для нахождения производной дроби $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = x$ и $v = \sqrt{1+x^2}$.

Мы уже знаем, что $u' = 1$ и $v' = (\sqrt{1+x^2})' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

Подставляем в формулу:

$(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})' = \frac{1 \cdot \sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{(\sqrt{1+x^2})^2} = \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$.

Чтобы упростить числитель, приведем его к общему знаменателю:

$\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{(\sqrt{1+x^2})^2 - x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{(1+x^2) - x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

Подставляем упрощенный числитель обратно в выражение для второй производной:

$f''(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$.

3. Вычисление значения $f''(2)$

Подставляем значение $x=2$ в выражение для второй производной:

$f''(2) = \frac{1}{(1+2^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+4)^{3/2}} = \frac{1}{5^{3/2}}$.

Поскольку $5^{3/2} = (\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5}$, получаем:

$f''(2) = \frac{1}{5\sqrt{5}}$.

Ответ: $\frac{1}{5\sqrt{5}}$.