Номер 17, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17. Решите неравенство $f'(x) \ge 0$, если:

1) f(x)

$=\frac{1}{3}\cos3x + \sin x;$

2) f(x)

$=2\sin\frac{x}{2} - \sqrt{3} x;$

3) f(x)

$=3\cos^2x + 2\sin^2x + x;$

4) f(x)

$=\sin^23x - \frac{1}{12}\cos6x + x;$

5) f(x)

$=\arccos3x + 2x + 3;$

6) f(x)

$=\mathrm{arcctg}2x + 2x - 1.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}\cos3x + \sin x$. Найдем ее производную: $f'(x) = (\frac{1}{3}\cos3x + \sin x)' = \frac{1}{3}(-\sin(3x) \cdot 3) + \cos x = -\sin(3x) + \cos x$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $\cos x - \sin(3x) \ge 0$. Преобразуем выражение, используя формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$. Для этого представим $\sin(3x)$ как $\cos(\frac{\pi}{2} - 3x)$: $\cos x - \cos(\frac{\pi}{2} - 3x) \ge 0$. $-2\sin\frac{x + (\frac{\pi}{2} - 3x)}{2}\sin\frac{x - (\frac{\pi}{2} - 3x)}{2} \ge 0$. $-2\sin(\frac{\pi/2 - 2x}{2})\sin(\frac{4x - \pi/2}{2}) \ge 0$. $-2\sin(\frac{\pi}{4} - x)\sin(2x - \frac{\pi}{4}) \ge 0$. Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin a$: $2\sin(x - \frac{\pi}{4})\sin(2x - \frac{\pi}{4}) \ge 0$. Это неравенство решается методом интервалов. Корни уравнения $f'(x)=0$ находятся из условий: $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \Rightarrow x - \frac{\pi}{4} = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = 0 \Rightarrow 2x - \frac{\pi}{4} = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. Нанесем эти корни на числовую окружность и определим знаки $f'(x)$ в полученных интервалах. Решением неравенства будет объединение следующих интервалов: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \left[-\frac{3\pi}{8} + 2\pi k, \frac{\pi}{8} + 2\pi k\right] \cup \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{8} + 2\pi k\right] \cup \left[\frac{9\pi}{8} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right] \right)$.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \left[-\frac{3\pi}{8} + 2\pi k, \frac{\pi}{8} + 2\pi k\right] \cup \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{8} + 2\pi k\right] \cup \left[\frac{9\pi}{8} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right] \right)$.

2) Дана функция $f(x) = 2\sin^2\frac{x}{2} - \sqrt{3}x$. Упростим функцию, используя формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$: $f(x) = 2\left(\frac{1 - \cos x}{2}\right) - \sqrt{3}x = 1 - \cos x - \sqrt{3}x$. Найдем производную: $f'(x) = (1 - \cos x - \sqrt{3}x)' = \sin x - \sqrt{3}$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $\sin x - \sqrt{3} \ge 0 \Rightarrow \sin x \ge \sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, а максимальное значение функции $\sin x$ равно 1, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

3) Дана функция $f(x) = 3\cos^2x + 2\sin^2x + x$. Упростим функцию, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$: $f(x) = 2\cos^2x + \cos^2x + 2\sin^2x + x = 2(\cos^2x + \sin^2x) + \cos^2x + x = 2 + \cos^2x + x$. Найдем производную: $f'(x) = (2 + \cos^2x + x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) + 1 = 1 - 2\sin x\cos x$. Используя формулу синуса двойного угла $2\sin x\cos x = \sin(2x)$, получаем: $f'(x) = 1 - \sin(2x)$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $1 - \sin(2x) \ge 0 \Rightarrow 1 \ge \sin(2x)$. Это неравенство верно для любых действительных значений $x$, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

4) Дана функция $f(x) = \sin^23x - \frac{1}{12}\cos6x + x$. Упростим функцию, используя формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$: $f(x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2} - \frac{1}{12}\cos(6x) + x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x) - \frac{1}{12}\cos(6x) + x = \frac{1}{2} - \frac{7}{12}\cos(6x) + x$. Найдем производную: $f'(x) = (\frac{1}{2} - \frac{7}{12}\cos(6x) + x)' = -\frac{7}{12}(-\sin(6x) \cdot 6) + 1 = \frac{7}{2}\sin(6x) + 1$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $\frac{7}{2}\sin(6x) + 1 \ge 0 \Rightarrow \sin(6x) \ge -\frac{2}{7}$. Решение этого неравенства имеет вид: $\arcsin(-\frac{2}{7}) + 2\pi k \le 6x \le \pi - \arcsin(-\frac{2}{7}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. $-\arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi k \le 6x \le \pi + \arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi k$. Разделим все части на 6: $-\frac{1}{6}\arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{\pi k}{3} \le x \le \frac{\pi}{6} + \frac{1}{6}\arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{\pi k}{3}$.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ -\frac{1}{6}\arcsin\frac{2}{7} + \frac{\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{1}{6}\arcsin\frac{2}{7} + \frac{\pi k}{3} \right]$.

5) Дана функция $f(x) = \arccos(3x) + 2x + 3$. Область определения функции задается условием $-1 \le 3x \le 1$, то есть $-\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3}$. Найдем производную, используя формулу $(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$: $f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{1 - (3x)^2}} + 2 = 2 - \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$. Производная определена при $1 - 9x^2 > 0$, то есть $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$ на этом интервале: $2 - \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}} \ge 0 \Rightarrow 2 \ge \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$. Так как обе части неравенства положительны, можно возвести в квадрат: $4 \ge \frac{9}{1 - 9x^2} \Rightarrow 4(1 - 9x^2) \ge 9 \Rightarrow 4 - 36x^2 \ge 9 \Rightarrow -36x^2 \ge 5 \Rightarrow x^2 \le -\frac{5}{36}$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

6) Дана функция $f(x) = \text{arcctg}2x + 2x - 1$. Область определения функции - все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную, используя формулу $(\text{arcctg } u)' = -\frac{u'}{1+u^2}$: $f'(x) = -\frac{2}{1 + (2x)^2} + 2 = 2 - \frac{2}{1 + 4x^2}$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $2 - \frac{2}{1 + 4x^2} \ge 0 \Rightarrow 2 \ge \frac{2}{1 + 4x^2} \Rightarrow 1 \ge \frac{1}{1 + 4x^2}$. Так как $1 + 4x^2 > 0$ для всех $x$, можно умножить обе части на это выражение: $1 + 4x^2 \ge 1 \Rightarrow 4x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любых действительных значений $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.