Номер 22, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22. Найдите координаты точки перегиба графика функции:

1) $y = \frac{2x^3}{x^2 - 1}$;

2) $y = \frac{3x^2}{x - 1}$;

3) $y = \frac{x^3}{4 - x^2}$;

4) $y = 1 - 3x + 2x^3$.

Для нахождения координат точки перегиба графика функции необходимо найти вторую производную функции, приравнять ее к нулю и найти корни получившегося уравнения. Эти корни будут абсциссами возможных точек перегиба. Затем нужно проверить, меняет ли вторая производная знак при переходе через эти точки. Если знак меняется, то это абсцисса точки перегиба. Ордината точки перегиба находится подстановкой абсциссы в исходную функцию.

1) $y = \frac{2x^3}{x^2 - 1}$

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 1$.

2. Найдем первую производную $y'$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{2x^3}{x^2 - 1}\right)' = \frac{(2x^3)'(x^2 - 1) - 2x^3(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{6x^2(x^2 - 1) - 2x^3(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{6x^4 - 6x^2 - 4x^4}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^4 - 6x^2}{(x^2 - 1)^2}$

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \left(\frac{2x^4 - 6x^2}{(x^2 - 1)^2}\right)' = \frac{(2x^4 - 6x^2)'(x^2 - 1)^2 - (2x^4 - 6x^2)((x^2 - 1)^2)'}{(x^2 - 1)^4}$

$y'' = \frac{(8x^3 - 12x)(x^2 - 1)^2 - (2x^4 - 6x^2) \cdot 2(x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^4}$

Сократим числитель и знаменатель на $(x^2 - 1)$:

$y'' = \frac{(8x^3 - 12x)(x^2 - 1) - 4x(2x^4 - 6x^2)}{(x^2 - 1)^3} = \frac{8x^5 - 8x^3 - 12x^3 + 12x - 8x^5 + 24x^3}{(x^2 - 1)^3} = \frac{4x^3 + 12x}{(x^2 - 1)^3} = \frac{4x(x^2 + 3)}{(x^2 - 1)^3}$

4. Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти абсциссы возможных точек перегиба:

$\frac{4x(x^2 + 3)}{(x^2 - 1)^3} = 0 \Rightarrow 4x(x^2 + 3) = 0$

Так как выражение $x^2 + 3$ всегда положительно, то $4x = 0$, откуда $x = 0$.

5. Проверим, меняет ли $y''$ знак при переходе через точку $x=0$. Точки $x=\pm 1$ являются точками разрыва и не могут быть точками перегиба.

При $x \in (-1, 0)$, $y'' = \frac{4(-)(+)}{(-)} > 0$ (график вогнутый).

При $x \in (0, 1)$, $y'' = \frac{4(+)(+)}{(-)} < 0$ (график выпуклый).

Знак второй производной меняется, следовательно, $x=0$ является абсциссой точки перегиба.

6. Найдем ординату точки перегиба, подставив $x=0$ в исходную функцию:

$y(0) = \frac{2 \cdot 0^3}{0^2 - 1} = 0$.

Таким образом, координаты точки перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

2) $y = \frac{3x^2}{x - 1}$

1. Область определения функции: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = \left(\frac{3x^2}{x - 1}\right)' = \frac{(3x^2)'(x - 1) - 3x^2(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{6x(x - 1) - 3x^2}{(x - 1)^2} = \frac{6x^2 - 6x - 3x^2}{(x - 1)^2} = \frac{3x^2 - 6x}{(x - 1)^2}$

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \left(\frac{3x^2 - 6x}{(x - 1)^2}\right)' = \frac{(3x^2 - 6x)'(x-1)^2 - (3x^2-6x)((x-1)^2)'}{(x-1)^4}$

$y'' = \frac{(6x - 6)(x-1)^2 - (3x^2 - 6x) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4} = \frac{6(x-1)^3 - 2(3x^2-6x)(x-1)}{(x-1)^4}$

Сократим на $(x-1)$:

$y'' = \frac{6(x-1)^2 - 2(3x^2-6x)}{(x-1)^3} = \frac{6(x^2 - 2x + 1) - 6x^2 + 12x}{(x - 1)^3} = \frac{6x^2 - 12x + 6 - 6x^2 + 12x}{(x - 1)^3} = \frac{6}{(x - 1)^3}$

4. Приравняем вторую производную к нулю:

$\frac{6}{(x - 1)^3} = 0$.

Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби равен 6 и не может быть равен нулю.

Вторая производная не обращается в ноль ни в одной точке из области определения. Следовательно, у графика функции нет точек перегиба.

Ответ: Точек перегиба нет.

3) $y = \frac{x^3}{4 - x^2}$

1. Область определения функции: $4 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = \left(\frac{x^3}{4 - x^2}\right)' = \frac{(x^3)'(4 - x^2) - x^3(4 - x^2)'}{(4 - x^2)^2} = \frac{3x^2(4 - x^2) - x^3(-2x)}{(4 - x^2)^2} = \frac{12x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(4 - x^2)^2} = \frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}$

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \left(\frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}\right)' = \frac{(12x^2 - x^4)'(4 - x^2)^2 - (12x^2 - x^4)((4 - x^2)^2)'}{(4 - x^2)^4}$

$y'' = \frac{(24x - 4x^3)(4 - x^2)^2 - (12x^2 - x^4) \cdot 2(4 - x^2)(-2x)}{(4 - x^2)^4}$

Сократим на $(4 - x^2)$:

$y'' = \frac{(24x - 4x^3)(4 - x^2) + 4x(12x^2 - x^4)}{(4 - x^2)^3} = \frac{96x - 24x^3 - 16x^3 + 4x^5 + 48x^3 - 4x^5}{(4 - x^2)^3} = \frac{8x^3 + 96x}{(4 - x^2)^3} = \frac{8x(x^2 + 12)}{(4 - x^2)^3}$

4. Приравняем вторую производную к нулю:

$\frac{8x(x^2 + 12)}{(4 - x^2)^3} = 0 \Rightarrow 8x(x^2 + 12) = 0$

Так как $x^2 + 12 > 0$ для любого $x$, то $8x = 0 \Rightarrow x = 0$.

5. Проверим смену знака $y''$ при переходе через точку $x=0$.

При $x \in (-2, 0)$, $y'' = \frac{8(-)(+)}{(+)} < 0$ (график выпуклый).

При $x \in (0, 2)$, $y'' = \frac{8(+)(+)}{(+)} > 0$ (график вогнутый).

Знак меняется, значит $x=0$ — абсцисса точки перегиба.

6. Найдем ординату точки перегиба:

$y(0) = \frac{0^3}{4 - 0^2} = 0$.

Координаты точки перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

4) $y = 1 - 3x + 2x^3$

1. Область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = (1 - 3x + 2x^3)' = -3 + 6x^2$.

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = (-3 + 6x^2)' = 12x$.

4. Приравняем вторую производную к нулю:

$12x = 0 \Rightarrow x = 0$.

5. Проверим смену знака $y''$ при переходе через точку $x=0$:

При $x < 0$, $y'' = 12x < 0$ (график выпуклый).

При $x > 0$, $y'' = 12x > 0$ (график вогнутый).

Знак меняется, значит $x=0$ — абсцисса точки перегиба.

6. Найдем ординату точки перегиба:

$y(0) = 1 - 3(0) + 2(0)^3 = 1$.

Координаты точки перегиба: $(0, 1)$.

Ответ: $(0, 1)$.