Страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

10. Значение выражения $\arccos(\cos4)$ равно:

A) 4;

B) $2\pi+4$;

C) $2\pi-4$;

D) $4-\pi$.

Для нахождения значения выражения $arccos(cos(4))$ необходимо вспомнить определение и свойства функции арккосинус.

По определению, $arccos(a)$ — это такое число (угол) $y$, которое удовлетворяет двум условиям: $cos(y) = a$ и $y \in [0; \pi]$. Отрезок $[0; \pi]$ является областью значений функции арккосинус.

Тождество $arccos(cos(x)) = x$ справедливо только в том случае, когда $x$ принадлежит области значений арккосинуса, то есть $x \in [0; \pi]$.

В нашем случае аргумент у косинуса равен 4 (имеется в виду 4 радиана). Оценим это значение. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $4 > \pi$. Это означает, что число 4 не входит в отрезок $[0; \pi]$, и, следовательно, $arccos(cos(4)) \neq 4$.

Нам необходимо найти такое число $y$, которое принадлежит отрезку $[0; \pi]$ и для которого выполняется равенство $cos(y) = cos(4)$.

Воспользуемся свойствами косинуса. Косинус — четная функция, то есть $cos(-x) = cos(x)$. Также косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, то есть $cos(x) = cos(x + 2\pi k)$ для любого целого $k$.

Из этих свойств следует, что для любого $x$ справедливо равенство $cos(x) = cos(2\pi - x)$. Проверим это: $cos(2\pi - x) = cos(-(x - 2\pi)) = cos(x - 2\pi) = cos(x)$.

Применим это тождество к нашему выражению: $cos(4) = cos(2\pi - 4)$.

Теперь нужно проверить, принадлежит ли полученное значение $2\pi - 4$ требуемому отрезку $[0; \pi]$.

Оценим $2\pi - 4$, используя $\pi \approx 3.14159$:

$2\pi - 4 \approx 2 \cdot 3.14159 - 4 = 6.28318 - 4 = 2.28318$.

Сравним это значение с границами отрезка $[0; \pi] \approx [0; 3.14159]$:

$0 < 2.28318 < 3.14159$.

Неравенство верное, значит, $2\pi - 4 \in [0; \pi]$.

Мы нашли число $2\pi - 4$, которое принадлежит области значений арккосинуса и косинус которого равен $cos(4)$. Таким образом, по определению арккосинуса:

$arccos(cos(4)) = 2\pi - 4$.

Ответ: $2\pi-4$.

22. Найдите координаты точки перегиба графика функции:

1) $y = \frac{2x^3}{x^2 - 1}$;

2) $y = \frac{3x^2}{x - 1}$;

3) $y = \frac{x^3}{4 - x^2}$;

4) $y = 1 - 3x + 2x^3$.

Для нахождения координат точки перегиба графика функции необходимо найти вторую производную функции, приравнять ее к нулю и найти корни получившегося уравнения. Эти корни будут абсциссами возможных точек перегиба. Затем нужно проверить, меняет ли вторая производная знак при переходе через эти точки. Если знак меняется, то это абсцисса точки перегиба. Ордината точки перегиба находится подстановкой абсциссы в исходную функцию.

1) $y = \frac{2x^3}{x^2 - 1}$

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 1$.

2. Найдем первую производную $y'$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{2x^3}{x^2 - 1}\right)' = \frac{(2x^3)'(x^2 - 1) - 2x^3(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{6x^2(x^2 - 1) - 2x^3(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{6x^4 - 6x^2 - 4x^4}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^4 - 6x^2}{(x^2 - 1)^2}$

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \left(\frac{2x^4 - 6x^2}{(x^2 - 1)^2}\right)' = \frac{(2x^4 - 6x^2)'(x^2 - 1)^2 - (2x^4 - 6x^2)((x^2 - 1)^2)'}{(x^2 - 1)^4}$

$y'' = \frac{(8x^3 - 12x)(x^2 - 1)^2 - (2x^4 - 6x^2) \cdot 2(x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^4}$

Сократим числитель и знаменатель на $(x^2 - 1)$:

$y'' = \frac{(8x^3 - 12x)(x^2 - 1) - 4x(2x^4 - 6x^2)}{(x^2 - 1)^3} = \frac{8x^5 - 8x^3 - 12x^3 + 12x - 8x^5 + 24x^3}{(x^2 - 1)^3} = \frac{4x^3 + 12x}{(x^2 - 1)^3} = \frac{4x(x^2 + 3)}{(x^2 - 1)^3}$

4. Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти абсциссы возможных точек перегиба:

$\frac{4x(x^2 + 3)}{(x^2 - 1)^3} = 0 \Rightarrow 4x(x^2 + 3) = 0$

Так как выражение $x^2 + 3$ всегда положительно, то $4x = 0$, откуда $x = 0$.

5. Проверим, меняет ли $y''$ знак при переходе через точку $x=0$. Точки $x=\pm 1$ являются точками разрыва и не могут быть точками перегиба.

При $x \in (-1, 0)$, $y'' = \frac{4(-)(+)}{(-)} > 0$ (график вогнутый).

При $x \in (0, 1)$, $y'' = \frac{4(+)(+)}{(-)} < 0$ (график выпуклый).

Знак второй производной меняется, следовательно, $x=0$ является абсциссой точки перегиба.

6. Найдем ординату точки перегиба, подставив $x=0$ в исходную функцию:

$y(0) = \frac{2 \cdot 0^3}{0^2 - 1} = 0$.

Таким образом, координаты точки перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

2) $y = \frac{3x^2}{x - 1}$

1. Область определения функции: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = \left(\frac{3x^2}{x - 1}\right)' = \frac{(3x^2)'(x - 1) - 3x^2(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{6x(x - 1) - 3x^2}{(x - 1)^2} = \frac{6x^2 - 6x - 3x^2}{(x - 1)^2} = \frac{3x^2 - 6x}{(x - 1)^2}$

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \left(\frac{3x^2 - 6x}{(x - 1)^2}\right)' = \frac{(3x^2 - 6x)'(x-1)^2 - (3x^2-6x)((x-1)^2)'}{(x-1)^4}$

$y'' = \frac{(6x - 6)(x-1)^2 - (3x^2 - 6x) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4} = \frac{6(x-1)^3 - 2(3x^2-6x)(x-1)}{(x-1)^4}$

Сократим на $(x-1)$:

$y'' = \frac{6(x-1)^2 - 2(3x^2-6x)}{(x-1)^3} = \frac{6(x^2 - 2x + 1) - 6x^2 + 12x}{(x - 1)^3} = \frac{6x^2 - 12x + 6 - 6x^2 + 12x}{(x - 1)^3} = \frac{6}{(x - 1)^3}$

4. Приравняем вторую производную к нулю:

$\frac{6}{(x - 1)^3} = 0$.

Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби равен 6 и не может быть равен нулю.

Вторая производная не обращается в ноль ни в одной точке из области определения. Следовательно, у графика функции нет точек перегиба.

Ответ: Точек перегиба нет.

3) $y = \frac{x^3}{4 - x^2}$

1. Область определения функции: $4 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = \left(\frac{x^3}{4 - x^2}\right)' = \frac{(x^3)'(4 - x^2) - x^3(4 - x^2)'}{(4 - x^2)^2} = \frac{3x^2(4 - x^2) - x^3(-2x)}{(4 - x^2)^2} = \frac{12x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(4 - x^2)^2} = \frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}$

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \left(\frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}\right)' = \frac{(12x^2 - x^4)'(4 - x^2)^2 - (12x^2 - x^4)((4 - x^2)^2)'}{(4 - x^2)^4}$

$y'' = \frac{(24x - 4x^3)(4 - x^2)^2 - (12x^2 - x^4) \cdot 2(4 - x^2)(-2x)}{(4 - x^2)^4}$

Сократим на $(4 - x^2)$:

$y'' = \frac{(24x - 4x^3)(4 - x^2) + 4x(12x^2 - x^4)}{(4 - x^2)^3} = \frac{96x - 24x^3 - 16x^3 + 4x^5 + 48x^3 - 4x^5}{(4 - x^2)^3} = \frac{8x^3 + 96x}{(4 - x^2)^3} = \frac{8x(x^2 + 12)}{(4 - x^2)^3}$

4. Приравняем вторую производную к нулю:

$\frac{8x(x^2 + 12)}{(4 - x^2)^3} = 0 \Rightarrow 8x(x^2 + 12) = 0$

Так как $x^2 + 12 > 0$ для любого $x$, то $8x = 0 \Rightarrow x = 0$.

5. Проверим смену знака $y''$ при переходе через точку $x=0$.

При $x \in (-2, 0)$, $y'' = \frac{8(-)(+)}{(+)} < 0$ (график выпуклый).

При $x \in (0, 2)$, $y'' = \frac{8(+)(+)}{(+)} > 0$ (график вогнутый).

Знак меняется, значит $x=0$ — абсцисса точки перегиба.

6. Найдем ординату точки перегиба:

$y(0) = \frac{0^3}{4 - 0^2} = 0$.

Координаты точки перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

4) $y = 1 - 3x + 2x^3$

1. Область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

2. Найдем первую производную $y'$:

$y' = (1 - 3x + 2x^3)' = -3 + 6x^2$.

3. Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = (-3 + 6x^2)' = 12x$.

4. Приравняем вторую производную к нулю:

$12x = 0 \Rightarrow x = 0$.

5. Проверим смену знака $y''$ при переходе через точку $x=0$:

При $x < 0$, $y'' = 12x < 0$ (график выпуклый).

При $x > 0$, $y'' = 12x > 0$ (график вогнутый).

Знак меняется, значит $x=0$ — абсцисса точки перегиба.

6. Найдем ординату точки перегиба:

$y(0) = 1 - 3(0) + 2(0)^3 = 1$.

Координаты точки перегиба: $(0, 1)$.

Ответ: $(0, 1)$.

23. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x):$

1) $f(x) = x^2 + 12x - 100;$

2) $f(x) = 5x^2 - 3x - 1;$

3) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9;$

4) $f(x) = x^3 - 3x.$

5) $f(x) = \frac{2x}{x+1};$

6) $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9};$

7) $f(x) = \frac{x}{25 - x^2};$

8) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}.$

1) Для функции $f(x) = x^2 + 12x - 100$ находим промежутки возрастания и убывания.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как это многочлен.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (x^2 + 12x - 100)' = 2x + 12$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$2x + 12 = 0 \Rightarrow x = -6$.

4. Определяем знаки производной на интервалах, на которые числовая ось делится критической точкой $x=-6$.

На интервале $(-\infty, -6)$: $f'(-7) = 2(-7)+12 = -2 < 0$, значит, функция убывает.

На интервале $(-6, +\infty)$: $f'(0) = 2(0)+12 = 12 > 0$, значит, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-6, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, -6]$.

2) Для функции $f(x) = 5x^2 - 3x - 1$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = (5x^2 - 3x - 1)' = 10x - 3$.

3. Критические точки: $10x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{10} = 0.3$.

4. Знаки производной:

На интервале $(-\infty, 0.3)$: $f'(0) = -3 < 0$, функция убывает.

На интервале $(0.3, +\infty)$: $f'(1) = 10-3 = 7 > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0.3, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 0.3]$.

3) Для функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$.

3. Критические точки: $3x(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 4$.

4. Знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$, $(4, +\infty)$.

На $(-\infty, 0)$: $f'(-1) = 3(-1)(-1-4) = 15 > 0$, функция возрастает.

На $(0, 4)$: $f'(1) = 3(1)(1-4) = -9 < 0$, функция убывает.

На $(4, +\infty)$: $f'(5) = 3(5)(5-4) = 15 > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4, +\infty)$, убывает на промежутке $[0, 4]$.

4) Для функции $f(x) = x^3 - 3x$.

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

3. Критические точки: $3(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.

4. Знаки производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$.

На $(-\infty, -1)$: $f'(-2) = 3((-2)^2 - 1) = 9 > 0$, функция возрастает.

На $(-1, 1)$: $f'(0) = 3(0^2 - 1) = -3 < 0$, функция убывает.

На $(1, +\infty)$: $f'(2) = 3(2^2 - 1) = 9 > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$.

5) Для функции $f(x) = \frac{2x}{x+1}$.

1. Область определения: знаменатель не равен нулю, $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2. Производная (по правилу частного): $f'(x) = \frac{(2x)'(x+1) - 2x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2x(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

3. Критические точки: $f'(x)=0$ не имеет решений, так как числитель равен 2. Производная не определена в точке $x=-1$, которая не входит в область определения.

4. Знак производной: $f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$. Числитель $2>0$, знаменатель $(x+1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$, промежутков убывания нет.

6) Для функции $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9}$.

1. Область определения: $x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3$. $D(f) = (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = \frac{(3x)'(x^2-9) - 3x(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{3(x^2-9) - 3x(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{3x^2 - 27 - 6x^2}{(x^2-9)^2} = \frac{-3x^2 - 27}{(x^2-9)^2} = \frac{-3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$.

3. Критические точки: $f'(x)=0$ не имеет решений, так как числитель $-3(x^2+9)$ никогда не равен нулю ($x^2+9>0$). Производная не определена в точках $x=\pm 3$, которые не входят в область определения.

4. Знак производной: $f'(x) = \frac{-3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$. Числитель $-3(x^2+9) < 0$, знаменатель $(x^2-9)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) < 0$ на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, +\infty)$, промежутков возрастания нет.

7) Для функции $f(x) = \frac{x}{25 - x^2}$.

1. Область определения: $25 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 5$. $D(f) = (-\infty, -5) \cup (-5, 5) \cup (5, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = \frac{(x)'(25-x^2) - x(25-x^2)'}{(25-x^2)^2} = \frac{1(25-x^2) - x(-2x)}{(25-x^2)^2} = \frac{25-x^2+2x^2}{(25-x^2)^2} = \frac{x^2+25}{(25-x^2)^2}$.

3. Критические точки: $f'(x)=0$ не имеет решений ($x^2+25>0$). Производная не определена в точках $x=\pm 5$, которые не входят в область определения.

4. Знак производной: $f'(x) = \frac{x^2+25}{(25-x^2)^2}$. Числитель $x^2+25 > 0$, знаменатель $(25-x^2)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -5)$, $(-5, 5)$ и $(5, +\infty)$, промежутков убывания нет.

8) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$.

1. Область определения: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Производная: $f'(x) = \frac{(x^2-9)'(x^2-4) - (x^2-9)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-9)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 + 18x}{(x^2-4)^2} = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$.

3. Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 10x=0 \Rightarrow x=0$. Точки, где производная не определена: $x=\pm 2$ (не входят в область определения).

4. Определяем знаки производной на интервалах, на которые числовая ось делится точками $x=-2, x=0, x=2$. Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$.

Знаменатель производной $(x^2-4)^2$ всегда положителен. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $10x$.

На интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-2, 0)$: $10x < 0$, значит $f'(x) < 0$, функция убывает.

На интервалах $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$: $10x > 0$, значит $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0, 2)$ и $(2, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(-2, 0]$.

24. Докажите, что функция:

1) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ возрастает при $x > 1$;

2) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ убывает при $x < 0$ и при $0 < x < 1$.

1)Чтобы доказать, что функция $f(x) = x + \frac{1}{x}$ возрастает при $x > 1$, мы можем использовать производную. Функция является возрастающей на интервале, если ее производная на этом интервале положительна ($f'(x) > 0$).

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(x + \frac{1}{x}\right)' = (x + x^{-1})' = 1 - 1 \cdot x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.

Теперь необходимо определить знак производной на промежутке $x > 1$.

Если $x > 1$, то возведя обе части в квадрат (так как обе части положительны), получим $x^2 > 1$.

Поскольку $x^2 > 1$, то обратное значение $\frac{1}{x^2}$ будет меньше 1, то есть $0 < \frac{1}{x^2} < 1$.

Следовательно, разность $1 - \frac{1}{x^2}$ будет положительной:

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} > 0$.

Так как производная функции положительна для всех $x > 1$, функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ убывает при $x < 0$ и при $0 < x < 1$, мы также воспользуемся производной. Функция является убывающей на интервале, если ее производная на этом интервале отрицательна ($f'(x) < 0$).

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(x^2 + \frac{2}{x}\right)' = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x - 2 \cdot x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2}$.

Для анализа знака приведем производную к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2x \cdot x^2 - 2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2}$.

Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$. Таким образом, знак производной $f'(x)$ определяется знаком числителя $2(x^3 - 1)$, а значит, знаком выражения $(x^3 - 1)$.

Рассмотрим два указанных промежутка:

а) При $x < 0$ (промежуток $(-\infty, 0)$):

Если $x < 0$, то $x^3 < 0$. Тогда разность $x^3 - 1$ будет отрицательной.

Числитель $2(x^3 - 1)$ отрицателен, а знаменатель $x^2$ положителен, следовательно, вся дробь отрицательна: $f'(x) < 0$.

Это означает, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 0)$.

б) При $0 < x < 1$ (промежуток $(0, 1)$):

Если $0 < x < 1$, то $0 < x^3 < 1$. Тогда разность $x^3 - 1$ будет отрицательной.

Числитель $2(x^3 - 1)$ снова отрицателен, а знаменатель $x^2$ положителен, следовательно, $f'(x) < 0$.

Это означает, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(0, 1)$.

Таким образом, доказано, что функция убывает на обоих указанных промежутках.

Ответ: Доказано.

25. Найдите критические точки функции:

1) $f(x) = 4 - 2x^2 + 7x^4$;

2) $f(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$;

3) $f(x) = 9 + 8x^2 - x^4$;

4) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4.

Какие из них являются точками максимума, какие — точками минимума?

Для нахождения критических точек функции и определения их типа (максимум или минимум), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции. Для всех заданных функций, являющихся многочленами, область определения — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$).

2. Найти производную функции $f'(x)$.

3. Найти критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$. (Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае производная существует всегда).

4. Определить знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения, или использовать вторую производную для определения типа экстремума.

• Если в точке производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума.

• Если в точке производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума.

• С помощью второй производной: если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ — точка максимума; если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ — точка минимума.

1) f(x) = 4 - 2x² + 7x⁴

Находим первую производную функции:

$f'(x) = (4 - 2x^2 + 7x^4)' = -4x + 28x^3$.

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$-4x + 28x^3 = 0$

$4x(7x^2 - 1) = 0$

Отсюда получаем три критические точки:

$x_1 = 0$

$7x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow x_{2,3} = \pm\frac{1}{\sqrt{7}}$.

Для определения типа экстремума найдем вторую производную:

$f''(x) = (-4x + 28x^3)' = -4 + 84x^2$.

Проверим знак второй производной в каждой критической точке:

При $x_1 = 0$: $f''(0) = -4 + 84 \cdot 0^2 = -4$. Так как $f''(0) < 0$, точка $x = 0$ является точкой максимума.

При $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{7}}$: $f''(-\frac{1}{\sqrt{7}}) = -4 + 84 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{7}})^2 = -4 + 84 \cdot \frac{1}{7} = -4 + 12 = 8$. Так как $f''(-\frac{1}{\sqrt{7}}) > 0$, точка $x = -\frac{1}{\sqrt{7}}$ является точкой минимума.

При $x_3 = \frac{1}{\sqrt{7}}$: $f''(\frac{1}{\sqrt{7}}) = -4 + 84 \cdot (\frac{1}{\sqrt{7}})^2 = -4 + 84 \cdot \frac{1}{7} = -4 + 12 = 8$. Так как $f''(\frac{1}{\sqrt{7}}) > 0$, точка $x = \frac{1}{\sqrt{7}}$ является точкой минимума.

Ответ: Критические точки: $x=0$, $x=-\frac{1}{\sqrt{7}}$, $x=\frac{1}{\sqrt{7}}$. Точка максимума: $x=0$. Точки минимума: $x=-\frac{1}{\sqrt{7}}$ и $x=\frac{1}{\sqrt{7}}$.

2) f(x) = 4x - x³/3

Находим первую производную функции:

$f'(x) = (4x - \frac{x^3}{3})' = 4 - \frac{3x^2}{3} = 4 - x^2$.

Приравниваем производную к нулю:

$4 - x^2 = 0$

$x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm2$.

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (4 - x^2)' = -2x$.

Проверим знак второй производной в каждой критической точке:

При $x_1 = -2$: $f''(-2) = -2(-2) = 4$. Так как $f''(-2) > 0$, точка $x = -2$ является точкой минимума.

При $x_2 = 2$: $f''(2) = -2(2) = -4$. Так как $f''(2) < 0$, точка $x = 2$ является точкой максимума.

Ответ: Критические точки: $x=-2$, $x=2$. Точка максимума: $x=2$. Точка минимума: $x=-2$.

3) f(x) = 9 + 8x² - x⁴

Находим первую производную функции:

$f'(x) = (9 + 8x^2 - x^4)' = 16x - 4x^3$.

Приравниваем производную к нулю:

$16x - 4x^3 = 0$

$4x(4 - x^2) = 0$

Отсюда получаем три критические точки:

$x_1 = 0$

$4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm2$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (16x - 4x^3)' = 16 - 12x^2$.

Проверим знак второй производной в каждой критической точке:

При $x_1 = 0$: $f''(0) = 16 - 12 \cdot 0^2 = 16$. Так как $f''(0) > 0$, точка $x = 0$ является точкой минимума.

При $x_2 = -2$: $f''(-2) = 16 - 12 \cdot (-2)^2 = 16 - 12 \cdot 4 = 16 - 48 = -32$. Так как $f''(-2) < 0$, точка $x = -2$ является точкой максимума.

При $x_3 = 2$: $f''(2) = 16 - 12 \cdot 2^2 = 16 - 12 \cdot 4 = 16 - 48 = -32$. Так как $f''(2) < 0$, точка $x = 2$ является точкой максимума.

Ответ: Критические точки: $x=0$, $x=-2$, $x=2$. Точки максимума: $x=-2$ и $x=2$. Точка минимума: $x=0$.

4) f(x) = 2x³ + 3x² - 4

Находим первую производную функции:

$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 4)' = 6x^2 + 6x$.

Приравниваем производную к нулю:

$6x^2 + 6x = 0$

$6x(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (6x^2 + 6x)' = 12x + 6$.

Проверим знак второй производной в каждой критической точке:

При $x_1 = -1$: $f''(-1) = 12(-1) + 6 = -6$. Так как $f''(-1) < 0$, точка $x = -1$ является точкой максимума.

При $x_2 = 0$: $f''(0) = 12(0) + 6 = 6$. Так как $f''(0) > 0$, точка $x = 0$ является точкой минимума.

Ответ: Критические точки: $x=-1$, $x=0$. Точка максимума: $x=-1$. Точка минимума: $x=0$.

26. Составьте уравнение касательной и нормали к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0 = 0$:

1) $y = 2x - \sqrt{x+1}$;

2) $y = \sqrt{3x+1}$;

3) $y = 1 + \frac{1}{x+2}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$.

27.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Общий вид уравнения нормали к графику функции (прямой, перпендикулярной касательной) в той же точке:

$y = f(x_0) - \frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$ (при условии $f'(x_0) \neq 0$).

Во всех представленных задачах $x_0 = 0$.

1) $y = 2x - \sqrt{x+1}$

1. Находим координату $y_0$ точки касания, подставив $x_0 = 0$ в уравнение функции:

$y_0 = f(0) = 2(0) - \sqrt{0+1} = -1$.

Точка касания имеет координаты $(0; -1)$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x - \sqrt{x+1})' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.

3. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $k_{кас}$:

$k_{кас} = f'(0) = 2 - \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

4. Составляем уравнение касательной, используя формулу $y = f(0) + f'(0)x$:

$y = -1 + \frac{3}{2}x$.

5. Находим угловой коэффициент нормали $k_{норм}$, который равен $-\frac{1}{k_{кас}}$:

$k_{норм} = -\frac{1}{3/2} = -\frac{2}{3}$.

6. Составляем уравнение нормали, используя формулу $y = f(0) - \frac{1}{f'(0)}x$:

$y = -1 - \frac{2}{3}x$.

Ответ: уравнение касательной: $y = \frac{3}{2}x - 1$; уравнение нормали: $y = -\frac{2}{3}x - 1$.

2) $y = \sqrt{3x+1}$

1. Находим $y_0$ при $x_0 = 0$:

$y_0 = f(0) = \sqrt{3(0)+1} = 1$.

Точка касания: $(0; 1)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (\sqrt{3x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot (3x+1)' = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.

3. Вычисляем угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в точке $x_0=0$:

$k_{кас} = f'(0) = \frac{3}{2\sqrt{3(0)+1}} = \frac{3}{2}$.

4. Уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{3}{2}x$.

5. Угловой коэффициент нормали:

$k_{норм} = -\frac{1}{k_{кас}} = -\frac{1}{3/2} = -\frac{2}{3}$.

6. Уравнение нормали:

$y = 1 - \frac{2}{3}x$.

Ответ: уравнение касательной: $y = \frac{3}{2}x + 1$; уравнение нормали: $y = -\frac{2}{3}x + 1$.

3) $y = 1 + \frac{1}{x+2}$

1. Находим $y_0$ при $x_0 = 0$:

$y_0 = f(0) = 1 + \frac{1}{0+2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Точка касания: $(0; \frac{3}{2})$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (1 + \frac{1}{x+2})' = (1 + (x+2)^{-1})' = -(x+2)^{-2} = -\frac{1}{(x+2)^2}$.

3. Вычисляем угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в точке $x_0=0$:

$k_{кас} = f'(0) = -\frac{1}{(0+2)^2} = -\frac{1}{4}$.

4. Уравнение касательной:

$y = \frac{3}{2} - \frac{1}{4}x$.

5. Угловой коэффициент нормали:

$k_{норм} = -\frac{1}{k_{кас}} = -\frac{1}{-1/4} = 4$.

6. Уравнение нормали:

$y = \frac{3}{2} + 4x$.

Ответ: уравнение касательной: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$; уравнение нормали: $y = 4x + \frac{3}{2}$.

4) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$

1. Находим $y_0$ при $x_0 = 0$:

$y_0 = f(0) = \frac{1}{\sqrt{1-0}} = 1$.

Точка касания: $(0; 1)$.

2. Находим производную. Удобнее представить функцию как $f(x) = (1-x)^{-1/2}$:

$f'(x) = ((1-x)^{-1/2})' = -\frac{1}{2}(1-x)^{-3/2} \cdot (-1) = \frac{1}{2(1-x)^{3/2}}$.

3. Вычисляем угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в точке $x_0=0$:

$k_{кас} = f'(0) = \frac{1}{2(1-0)^{3/2}} = \frac{1}{2}$.

4. Уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{1}{2}x$.

5. Угловой коэффициент нормали:

$k_{норм} = -\frac{1}{k_{кас}} = -\frac{1}{1/2} = -2$.

6. Уравнение нормали:

$y = 1 - 2x$.

Ответ: уравнение касательной: $y = \frac{1}{2}x + 1$; уравнение нормали: $y = -2x + 1$.

27. Найдите критические точки функции:

1) $f(x) = x - 2\sin x;$

2) $f(x) = x + \cos 2x.$

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.

1) $f(x) = x - 2\sin x$

Сначала найдем область определения функции. Функция $f(x) = x - 2\sin x$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Теперь найдем производную функции:

$f'(x) = (x - 2\sin x)' = (x)' - (2\sin x)' = 1 - 2\cos x$.

Производная $f'(x)$ существует для всех $x$ из области определения, поэтому критические точки можно найти, только решив уравнение $f'(x) = 0$.

$1 - 2\cos x = 0$

$2\cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решениями этого тригонометрического уравнения являются:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это и есть критические точки данной функции.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = x + \cos 2x$

Область определения функции $f(x) = x + \cos 2x$ — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции для $\cos 2x$:

$f'(x) = (x + \cos 2x)' = (x)' + (\cos 2x)' = 1 - (\sin 2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\sin 2x$.

Производная $f'(x)$ существует для всех $x$ из области определения. Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$.

$1 - 2\sin 2x = 0$

$2\sin 2x = 1$

$\sin 2x = \frac{1}{2}$

Решим это тригонометрическое уравнение относительно $2x$:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это и есть критические точки данной функции.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

28. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = \sqrt{3x+1}$, параллельной прямой $y = \frac{3}{4}x$;

2) $f(x) = \sqrt{3-2x}$, параллельной прямой $y = -x+5$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной функции в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию, касательная должна быть параллельна прямой $y = \frac{3}{4}x$. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент данной прямой равен $\frac{3}{4}$.

Следовательно, $f'(x_0) = \frac{3}{4}$.

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3x+1}$:

$f'(x) = (\sqrt{3x+1})' = ((3x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3x+1)^{-1/2} \cdot (3x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.

Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = \frac{3}{4}$:

$\frac{3}{2\sqrt{3x_0+1}} = \frac{3}{4}$

Разделив обе части на 3, получим:

$\frac{1}{2\sqrt{3x_0+1}} = \frac{1}{4}$

Отсюда следует, что $2\sqrt{3x_0+1} = 4$, или $\sqrt{3x_0+1} = 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3x_0+1 = 4$

$3x_0 = 3$

$x_0 = 1$.

Теперь найдем ординату точки касания, подставив $x_0=1$ в исходную функцию:

$y_0 = f(1) = \sqrt{3 \cdot 1 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Итак, точка касания имеет координаты $(1; 2)$.

Подставим найденные значения $x_0=1$, $y_0=f(1)=2$ и $k=f'(1)=\frac{3}{4}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + \frac{3}{4}(x - 1)$

$y = 2 + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{8}{4} - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$.

Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{3-2x}$ и прямая $y = -x + 5$.

Угловой коэффициент данной прямой равен $k = -1$. Поскольку искомая касательная параллельна этой прямой, ее угловой коэффициент $f'(x_0)$ также должен быть равен $-1$.

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3-2x}$:

$f'(x) = (\sqrt{3-2x})' = ((3-2x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3-2x)^{-1/2} \cdot (3-2x)' = \frac{1}{2\sqrt{3-2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{3-2x}}$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = -1$:

$-\frac{1}{\sqrt{3-2x_0}} = -1$

$\frac{1}{\sqrt{3-2x_0}} = 1$

$\sqrt{3-2x_0} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$3-2x_0 = 1$

$2 = 2x_0$

$x_0 = 1$.

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0=1$ в функцию:

$y_0 = f(1) = \sqrt{3-2 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1$.

Точка касания имеет координаты $(1; 1)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(1; 1)$ и угловой коэффициент $k = -1$:

$y - 1 = -1(x - 1)$

$y - 1 = -x + 1$

$y = -x + 2$.

Ответ: $y = -x + 2$.

29. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке:

1) $f(x) = \frac{x}{8} + \frac{2}{x}$, $x \in [1; 6];$

2) $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$, $x \in [0; 3];$

3) $f(x) = x^3 - 12x$, $x \in [-1; 3];$

4) $f(x) = \frac{x}{2x^2 - 1}$, $x \in [-4; -2].$

1) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $f(x) = \frac{x}{8} + \frac{2}{x}$ на отрезке $[1; 6]$, воспользуемся алгоритмом исследования функции на отрезке.

Шаг 1: Найдем производную функции.

$f'(x) = \left(\frac{x}{8} + \frac{2}{x}\right)' = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2}$.

Шаг 2: Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$\frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = 0$

$\frac{1}{8} = \frac{2}{x^2}$

$x^2 = 16$

$x = 4$ или $x = -4$.

Шаг 3: Выберем критические точки, принадлежащие заданному отрезку $[1; 6]$.

Точка $x = 4$ принадлежит отрезку $[1; 6]$. Точка $x = -4$ не принадлежит этому отрезку.

Шаг 4: Вычислим значения функции в выбранной критической точке и на концах отрезка.

$f(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{17}{8}$.

$f(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

$f(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9 + 4}{12} = \frac{13}{12}$.

Шаг 5: Сравним полученные значения.

$1$, $\frac{13}{12} \approx 1.083$, $\frac{17}{8} = 2.125$.

Наименьшее значение функции на отрезке равно $1$, а наибольшее равно $\frac{17}{8}$.

Ответ: наименьшее значение функции $1$, наибольшее значение $\frac{17}{8}$.

2) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$ на отрезке $[0; 3]$.

Шаг 1: Найдем производную функции.

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right)' = x^2 - 3x + 2$.

Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Шаг 3: Обе критические точки, $x=1$ и $x=2$, принадлежат отрезку $[0; 3]$.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.

$f(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0 = 0$.

$f(1) = \frac{1^3}{3} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$.

$f(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$.

$f(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 2 \cdot 3 = 9 - \frac{27}{2} + 6 = 15 - 13.5 = 1.5 = \frac{3}{2}$.

Шаг 5: Сравним полученные значения: $0$, $\frac{5}{6}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{2}$.

$0 < \frac{2}{3} < \frac{5}{6} < \frac{3}{2}$.

Наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $\frac{3}{2}$.

Ответ: наименьшее значение функции $0$, наибольшее значение $\frac{3}{2}$.

3) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = x^3 - 12x$ на отрезке $[-1; 3]$.

Шаг 1: Найдем производную функции.

$f'(x) = (x^3 - 12x)' = 3x^2 - 12$.

Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$3x^2 - 12 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Шаг 3: Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[-1; 3]$.

Точка $x = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$. Точка $x = -2$ не принадлежит этому отрезку.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.

$f(-1) = (-1)^3 - 12(-1) = -1 + 12 = 11$.

$f(2) = (2)^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$.

$f(3) = (3)^3 - 12(3) = 27 - 36 = -9$.

Шаг 5: Сравним полученные значения: $11$, $-16$, $-9$.

Наименьшее значение функции равно $-16$, а наибольшее равно $11$.

Ответ: наименьшее значение функции $-16$, наибольшее значение $11$.

4) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = \frac{x}{2x^2 - 1}$ на отрезке $[-4; -2]$.

Шаг 1: Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного.

$f'(x) = \left(\frac{x}{2x^2 - 1}\right)' = \frac{(x)'(2x^2 - 1) - x(2x^2 - 1)'}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{1 \cdot (2x^2 - 1) - x \cdot 4x}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{2x^2 - 1 - 4x^2}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{-2x^2 - 1}{(2x^2 - 1)^2}$.

Шаг 2: Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ равносильно уравнению $-2x^2 - 1 = 0$, или $2x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет критических точек.

Шаг 3: Так как на отрезке $[-4; -2]$ нет критических точек, наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим значения функции на концах отрезка.

$f(-4) = \frac{-4}{2(-4)^2 - 1} = \frac{-4}{2 \cdot 16 - 1} = \frac{-4}{32 - 1} = -\frac{4}{31}$.

$f(-2) = \frac{-2}{2(-2)^2 - 1} = \frac{-2}{2 \cdot 4 - 1} = \frac{-2}{8 - 1} = -\frac{2}{7}$.

Шаг 4: Сравним полученные значения.

Чтобы сравнить дроби $-\frac{4}{31}$ и $-\frac{2}{7}$, приведем их к общему знаменателю $31 \cdot 7 = 217$.

$-\frac{4}{31} = -\frac{4 \cdot 7}{31 \cdot 7} = -\frac{28}{217}$.

$-\frac{2}{7} = -\frac{2 \cdot 31}{7 \cdot 31} = -\frac{62}{217}$.

Так как $-62 < -28$, то $-\frac{62}{217} < -\frac{28}{217}$, следовательно, $-\frac{2}{7} < -\frac{4}{31}$.

Наименьшее значение функции равно $-\frac{2}{7}$, а наибольшее равно $-\frac{4}{31}$.

Ответ: наименьшее значение функции $-\frac{2}{7}$, наибольшее значение $-\frac{4}{31}$.

30. Дан график функции $y = f(x)$ (рис. 1). По графику функции найдите:

1) точки, в которых $f'(x) = 0$;

2) промежутки, в которых $f'(x) > 0$;

3) промежутки, в которых $f'(x) < 0$;

4) число точек перегиба графика функции;

5) точки экстремума функции.

1) точки, в которых $f'(x) = 0$

Производная функции $f'(x)$ равна нулю в точках экстремума (локальных максимумов и минимумов), так как в этих точках касательная к графику функции горизонтальна. Из графика видно, что у функции есть три локальных максимума (вершины "холмов") в точках A, D, F и два локальных минимума (впадины) в точках B и E. Абсциссы этих точек — $a$, $d$, $f$ для максимумов и $b$, $e$ для минимумов.

Ответ: $a, b, d, e, f$.

2) промежутки, в которых $f'(x) > 0$

Неравенство $f'(x) > 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = f(x)$ возрастает. По графику определяем, что функция возрастает на следующих интервалах:

• от минус бесконечности до точки максимума A (с абсциссой $a$);
• от точки минимума B (с абсциссой $b$) до точки максимума D (с абсциссой $d$);
• от точки минимума E (с абсциссой $e$) до точки максимума F (с абсциссой $f$).

Ответ: $(-\infty; a)$, $(b; d)$, $(e; f)$.

3) промежутки, в которых $f'(x) < 0$

Неравенство $f'(x) < 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = f(x)$ убывает. По графику определяем, что функция убывает на следующих интервалах:

• от точки максимума A (с абсциссой $a$) до точки минимума B (с абсциссой $b$);
• от точки максимума D (с абсциссой $d$) до точки минимума E (с абсциссой $e$);
• от точки максимума F (с абсциссой $f$) и далее вправо до плюс бесконечности.

Ответ: $(a; b)$, $(d; e)$, $(f; +\infty)$.

4) число точек перегиба графика функции

Точка перегиба — это точка на графике, в которой меняется направление выпуклости функции. Проанализируем выпуклость графика:

• В окрестности максимума A график выпуклый вверх (вогнутый), а в окрестности минимума B — выпуклый вниз. Значит, между ними есть точка перегиба.
• В точке C график меняет выпуклость с нижней на верхнюю. Это вторая точка перегиба.
• Между максимумом D (выпуклость вверх) и минимумом E (выпуклость вниз) должна быть третья точка перегиба.
• Между минимумом E (выпуклость вниз) и максимумом F (выпуклость вверх) должна быть четвертая точка перегиба.
• В точке G график меняет направление выпуклости. Это пятая точка перегиба.

Таким образом, на графике можно насчитать 5 точек перегиба.

Ответ: 5.

5) точки экстремума функции.

Точки экстремума — это точки локальных максимумов и минимумов функции. Как было определено в пункте 1, на графике видны следующие экстремумы:

• Точки максимума (вершины): A, D, F, их абсциссы $x=a$, $x=d$, $x=f$.
• Точки минимума (впадины): B, E, их абсциссы $x=b$, $x=e$.

Ответ: Точки максимума: $a, d, f$. Точки минимума: $b, e$.