Номер 25, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25. Найдите критические точки функции:

1) $f(x) = 4 - 2x^2 + 7x^4$;

2) $f(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$;

3) $f(x) = 9 + 8x^2 - x^4$;

4) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4.

Какие из них являются точками максимума, какие — точками минимума?

Для нахождения критических точек функции и определения их типа (максимум или минимум), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции. Для всех заданных функций, являющихся многочленами, область определения — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$).

2. Найти производную функции $f'(x)$.

3. Найти критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$. (Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае производная существует всегда).

4. Определить знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения, или использовать вторую производную для определения типа экстремума.

• Если в точке производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума.

• Если в точке производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума.

• С помощью второй производной: если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ — точка максимума; если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ — точка минимума.

1) f(x) = 4 - 2x² + 7x⁴

Находим первую производную функции:

$f'(x) = (4 - 2x^2 + 7x^4)' = -4x + 28x^3$.

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$-4x + 28x^3 = 0$

$4x(7x^2 - 1) = 0$

Отсюда получаем три критические точки:

$x_1 = 0$

$7x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow x_{2,3} = \pm\frac{1}{\sqrt{7}}$.

Для определения типа экстремума найдем вторую производную:

$f''(x) = (-4x + 28x^3)' = -4 + 84x^2$.

Проверим знак второй производной в каждой критической точке:

При $x_1 = 0$: $f''(0) = -4 + 84 \cdot 0^2 = -4$. Так как $f''(0) < 0$, точка $x = 0$ является точкой максимума.

При $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{7}}$: $f''(-\frac{1}{\sqrt{7}}) = -4 + 84 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{7}})^2 = -4 + 84 \cdot \frac{1}{7} = -4 + 12 = 8$. Так как $f''(-\frac{1}{\sqrt{7}}) > 0$, точка $x = -\frac{1}{\sqrt{7}}$ является точкой минимума.

При $x_3 = \frac{1}{\sqrt{7}}$: $f''(\frac{1}{\sqrt{7}}) = -4 + 84 \cdot (\frac{1}{\sqrt{7}})^2 = -4 + 84 \cdot \frac{1}{7} = -4 + 12 = 8$. Так как $f''(\frac{1}{\sqrt{7}}) > 0$, точка $x = \frac{1}{\sqrt{7}}$ является точкой минимума.

Ответ: Критические точки: $x=0$, $x=-\frac{1}{\sqrt{7}}$, $x=\frac{1}{\sqrt{7}}$. Точка максимума: $x=0$. Точки минимума: $x=-\frac{1}{\sqrt{7}}$ и $x=\frac{1}{\sqrt{7}}$.

2) f(x) = 4x - x³/3

Находим первую производную функции:

$f'(x) = (4x - \frac{x^3}{3})' = 4 - \frac{3x^2}{3} = 4 - x^2$.

Приравниваем производную к нулю:

$4 - x^2 = 0$

$x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm2$.

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (4 - x^2)' = -2x$.

Проверим знак второй производной в каждой критической точке:

При $x_1 = -2$: $f''(-2) = -2(-2) = 4$. Так как $f''(-2) > 0$, точка $x = -2$ является точкой минимума.

При $x_2 = 2$: $f''(2) = -2(2) = -4$. Так как $f''(2) < 0$, точка $x = 2$ является точкой максимума.

Ответ: Критические точки: $x=-2$, $x=2$. Точка максимума: $x=2$. Точка минимума: $x=-2$.

3) f(x) = 9 + 8x² - x⁴

Находим первую производную функции:

$f'(x) = (9 + 8x^2 - x^4)' = 16x - 4x^3$.

Приравниваем производную к нулю:

$16x - 4x^3 = 0$

$4x(4 - x^2) = 0$

Отсюда получаем три критические точки:

$x_1 = 0$

$4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm2$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (16x - 4x^3)' = 16 - 12x^2$.

Проверим знак второй производной в каждой критической точке:

При $x_1 = 0$: $f''(0) = 16 - 12 \cdot 0^2 = 16$. Так как $f''(0) > 0$, точка $x = 0$ является точкой минимума.

При $x_2 = -2$: $f''(-2) = 16 - 12 \cdot (-2)^2 = 16 - 12 \cdot 4 = 16 - 48 = -32$. Так как $f''(-2) < 0$, точка $x = -2$ является точкой максимума.

При $x_3 = 2$: $f''(2) = 16 - 12 \cdot 2^2 = 16 - 12 \cdot 4 = 16 - 48 = -32$. Так как $f''(2) < 0$, точка $x = 2$ является точкой максимума.

Ответ: Критические точки: $x=0$, $x=-2$, $x=2$. Точки максимума: $x=-2$ и $x=2$. Точка минимума: $x=0$.

4) f(x) = 2x³ + 3x² - 4

Находим первую производную функции:

$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 4)' = 6x^2 + 6x$.

Приравниваем производную к нулю:

$6x^2 + 6x = 0$

$6x(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (6x^2 + 6x)' = 12x + 6$.

Проверим знак второй производной в каждой критической точке:

При $x_1 = -1$: $f''(-1) = 12(-1) + 6 = -6$. Так как $f''(-1) < 0$, точка $x = -1$ является точкой максимума.

При $x_2 = 0$: $f''(0) = 12(0) + 6 = 6$. Так как $f''(0) > 0$, точка $x = 0$ является точкой минимума.

Ответ: Критические точки: $x=-1$, $x=0$. Точка максимума: $x=-1$. Точка минимума: $x=0$.