Номер 20, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20. Решите уравнение:

1) $\sin^4 \frac{x}{2} - \cos^4 \frac{x}{2} = \frac{1}{4};$

2) $\cos 10x + \sin 10x = \sqrt{15} \sin 15x;$

3) $\cos^2 x - \cos^2 2x + \cos^2 3x - \cos^2 4x = 0;$

4) $5\sin^2 x - \sqrt{3} \cos x \cdot \sin x + 6\cos^2 x - 5 = 0;$

5) $(x - 1)^2(x^2 - 2x) - 12 = 0;$

6) $(x - 3)^2(x^2 - 6x) + 12 = 0;$

7) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) - 3 = 0;$

8) $(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x - 2) + 1 = 0;$

9) $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x + \frac{1}{x}) + 12 = 0;$

10) $(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x - \frac{2}{x}) - 16 = 0.$

1) $sin^4 \frac{x}{2} - cos^4 \frac{x}{2} = \frac{1}{4}$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(sin^2 \frac{x}{2} - cos^2 \frac{x}{2})(sin^2 \frac{x}{2} + cos^2 \frac{x}{2}) = \frac{1}{4}$

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$:

$-(cos^2 \frac{x}{2} - sin^2 \frac{x}{2}) \cdot 1 = \frac{1}{4}$

$-cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \frac{1}{4}$

$-cos(x) = \frac{1}{4}$

$cos(x) = -\frac{1}{4}$

Решением этого уравнения является:

$x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $cos(10x) + sin(10x) = \sqrt{15} sin(15x)$

Это уравнение в представленном виде, скорее всего, не имеет решения в элементарных функциях и, вероятно, содержит опечатку в условии. Наиболее вероятная опечатка — коэффициент $\sqrt{15}$ вместо $\sqrt{2}$, так как это делает задачу стандартной. Ниже приведено решение для исправленного уравнения $cos(10x) + sin(10x) = \sqrt{2} sin(15x)$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного аргумента:

$\sqrt{1^2+1^2}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos(10x) + \frac{1}{\sqrt{2}}sin(10x)) = \sqrt{2} sin(15x)$

$\sqrt{2}(sin(\frac{\pi}{4})cos(10x) + cos(\frac{\pi}{4})sin(10x)) = \sqrt{2} sin(15x)$

Используем формулу синуса суммы $sin(\alpha+\beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$:

$\sqrt{2}sin(10x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}sin(15x)$

$sin(10x + \frac{\pi}{4}) = sin(15x)$

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $15x = 10x + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$5x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}$

2) $15x = \pi - (10x + \frac{\pi}{4}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$15x = \frac{3\pi}{4} - 10x + 2\pi n$

$25x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{3\pi}{100} + \frac{2\pi n}{25}$

Ответ: (для исправленного уравнения) $x = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}, x = \frac{3\pi}{100} + \frac{2\pi n}{25}, k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $cos^2x - cos^22x + cos^23x - cos^24x = 0$

Используем формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1+cos(2x)}{2} - \frac{1+cos(4x)}{2} + \frac{1+cos(6x)}{2} - \frac{1+cos(8x)}{2} = 0$

Умножим обе части на 2:

$(1+cos(2x)) - (1+cos(4x)) + (1+cos(6x)) - (1+cos(8x)) = 0$

$cos(2x) - cos(4x) + cos(6x) - cos(8x) = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$(cos(6x) + cos(2x)) - (cos(8x) + cos(4x)) = 0$

$2cos(\frac{6x+2x}{2})cos(\frac{6x-2x}{2}) - 2cos(\frac{8x+4x}{2})cos(\frac{8x-4x}{2}) = 0$

$2cos(4x)cos(2x) - 2cos(6x)cos(2x) = 0$

$2cos(2x)(cos(4x) - cos(6x)) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

2) $cos(4x) - cos(6x) = 0 \implies cos(6x) = cos(4x)$

Отсюда $6x = \pm 4x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

a) $6x = 4x + 2\pi n \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n$

b) $6x = -4x + 2\pi n \implies 10x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}$

Заметим, что серия решений $x = \pi n$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi n}{5}$ (при n, кратных 5). Таким образом, решения второго уравнения $x = \frac{\pi n}{5}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi n}{5}, k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $5sin^2x - \sqrt{3} cosx \cdot sinx + 6cos^2x - 5 = 0$

Заменим 5 на $5(sin^2x + cos^2x)$:

$5sin^2x - \sqrt{3} cosx \cdot sinx + 6cos^2x - 5(sin^2x + cos^2x) = 0$

$5sin^2x - \sqrt{3} cosx \cdot sinx + 6cos^2x - 5sin^2x - 5cos^2x = 0$

$cos^2x - \sqrt{3} cosx \cdot sinx = 0$

Вынесем $cosx$ за скобки:

$cosx(cosx - \sqrt{3}sinx) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $cosx = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $cosx - \sqrt{3}sinx = 0$. Заметим, что $cosx \neq 0$, иначе $sinx$ тоже был бы равен 0, что невозможно. Разделим на $cosx$:

$1 - \sqrt{3}tanx = 0 \implies tanx = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = \frac{\pi}{6} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

5) $(x - 1)^2(x^2 - 2x) - 12 = 0$

Заметим, что $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$. Сделаем замену $t = x^2 - 2x$.

Уравнение примет вид:

$(t+1)t - 12 = 0$

$t^2 + t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3, t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 - 2x = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0$. Отсюда $x_1 = 3, x_2 = -1$.

2) $x^2 - 2x = -4 \implies x^2 - 2x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $x = -1, x = 3$.

6) $(x - 3)^2(x^2 - 6x) + 12 = 0$

Заметим, что $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$. Сделаем замену $t = x^2 - 6x$.

Уравнение примет вид:

$(t+9)t + 12 = 0$

$t^2 + 9t + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = 9^2 - 4(1)(12) = 81 - 48 = 33$.

$t = \frac{-9 \pm \sqrt{33}}{2}$.

Выполним обратную замену $x^2 - 6x = t \implies x^2 - 6x - t = 0$.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4t}}{2} = 3 \pm \sqrt{9+t}$.

1) $t_1 = \frac{-9 + \sqrt{33}}{2} \implies 9 + t_1 = 9 + \frac{-9 + \sqrt{33}}{2} = \frac{18-9+\sqrt{33}}{2} = \frac{9+\sqrt{33}}{2}$.

$x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{\frac{9+\sqrt{33}}{2}}$.

2) $t_2 = \frac{-9 - \sqrt{33}}{2} \implies 9 + t_2 = 9 + \frac{-9 - \sqrt{33}}{2} = \frac{18-9-\sqrt{33}}{2} = \frac{9-\sqrt{33}}{2}$.

$x_{3,4} = 3 \pm \sqrt{\frac{9-\sqrt{33}}{2}}$.

Ответ: $x = 3 \pm \sqrt{\frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}}$.

7) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) - 3 = 0$

Сделаем замену $t = x^2 - 3x$.

Уравнение примет вид:

$(t+1)(t+3) - 3 = 0$

$t^2 + 4t + 3 - 3 = 0$

$t^2 + 4t = 0 \implies t(t+4) = 0$.

Отсюда $t_1 = 0, t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 - 3x = 0 \implies x(x-3) = 0$. Отсюда $x_1 = 0, x_2 = 3$.

2) $x^2 - 3x = -4 \implies x^2 - 3x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $x = 0, x = 3$.

8) $(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x - 2) + 1 = 0$

Сделаем замену $t = x^2 + 3x$.

Уравнение примет вид:

$(t-4)(t-2) + 1 = 0$

$t^2 - 6t + 8 + 1 = 0$

$t^2 - 6t + 9 = 0 \implies (t-3)^2 = 0$.

Отсюда $t = 3$.

Выполним обратную замену:

$x^2 + 3x = 3 \implies x^2 + 3x - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение: $D = 3^2 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

9) $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x + \frac{1}{x}) + 12 = 0$

Это возвратное уравнение. Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$.

Тогда $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 - 2) + 7t + 12 = 0$

$t^2 + 7t + 10 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = -2, t_2 = -5$.

Выполним обратную замену:

1) $x + \frac{1}{x} = -2 \implies x^2 + 1 = -2x \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0$. Отсюда $x = -1$.

2) $x + \frac{1}{x} = -5 \implies x^2 + 1 = -5x \implies x^2 + 5x + 1 = 0$.

$D = 5^2 - 4(1)(1) = 21$.

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x = -1, x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

10) $(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x - \frac{2}{x}) - 16 = 0$

Сделаем замену $t = x - \frac{2}{x}$.

Тогда $t^2 = (x - \frac{2}{x})^2 = x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 + 4$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 + 4) - t - 16 = 0$

$t^2 - t - 12 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 4, t_2 = -3$.

Выполним обратную замену:

1) $x - \frac{2}{x} = 4 \implies x^2 - 2 = 4x \implies x^2 - 4x - 2 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4(1)(-2) = 16 + 8 = 24$.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.

2) $x - \frac{2}{x} = -3 \implies x^2 - 2 = -3x \implies x^2 + 3x - 2 = 0$.

$D = 3^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $x = 2 \pm \sqrt{6}, x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.