Страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

18.19. Найдите:

1) $sin \frac{\alpha}{2}$, $cos \frac{\alpha}{2}$, $sin \alpha$, если $cos \alpha = \frac{7}{9}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$;

2) $cos \alpha$, $tg \alpha$, если $sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1) Дано: $\cos\alpha = \frac{7}{9}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то угол $\frac{\alpha}{2}$ также находится в первой четверти ($0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$). В первой четверти значения синуса и косинуса положительны. Следовательно, $\sin\alpha > 0$, $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$ и $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$.

Для нахождения $\sin\frac{\alpha}{2}$ и $\cos\frac{\alpha}{2}$ используем формулы половинного угла:

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$

Подставим известное значение $\cos\alpha$:

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{9-7}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{9}}{2} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.

Так как $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$, извлекаем положительный корень:

$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$

Подставим известное значение $\cos\alpha$:

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{9+7}{9}}{2} = \frac{\frac{16}{9}}{2} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$.

Так как $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$, извлекаем положительный корень:

$\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Для нахождения $\sin\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{7}{9})^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{81 - 49}{81} = \frac{32}{81}$.

Так как $\sin\alpha > 0$, извлекаем положительный корень:

$\sin\alpha = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Проверить результат можно с помощью формулы синуса двойного угла: $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$, $\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\sin\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

2) Дано: $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Угол $\alpha$ находится во второй четверти. В этой четверти $\cos\alpha < 0$ и $\tan\alpha < 0$.

Для нахождения $\cos\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.

Так как $\cos\alpha < 0$ (вторая четверть), извлекаем отрицательный корень:

$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{7}{9}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$.

Для нахождения $\tan\alpha$ используем определение тангенса $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{-\frac{\sqrt{7}}{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$\tan\alpha = -\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{14}}{7}$.

Ответ: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}$, $\tan\alpha = -\frac{\sqrt{14}}{7}$.

18.20. Найдите $\cos(\alpha + \beta)$, $\sin(\alpha - \beta)$, если $\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\sin \beta = \frac{1}{8}$ и $\alpha, \beta \in$ I четверти.

Для решения задачи нам понадобятся значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\beta $. По условию, углы $ \alpha $ и $ \beta $ находятся в I четверти, поэтому их синусы и косинусы положительны. Найдем недостающие значения, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $.

1. Находим $ \sin\alpha $, зная $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} $:

$ \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{16-15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} $.

2. Находим $ \cos\beta $, зная $ \sin\beta = \frac{1}{8} $:

$ \cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{8}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{64}} = \sqrt{\frac{64-1}{64}} = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 7}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8} $.

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычислений: $ \sin\alpha = \frac{1}{4} $, $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} $, $ \sin\beta = \frac{1}{8} $, $ \cos\beta = \frac{3\sqrt{7}}{8} $.

cos(α + β)

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.

Подставляем известные значения:

$ \cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) \cdot \left(\frac{3\sqrt{7}}{8}\right) - \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{1}{8}\right) = \frac{3\sqrt{105}}{32} - \frac{1}{32} = \frac{3\sqrt{105} - 1}{32} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{105} - 1}{32} $.

sin(α - β)

Используем формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.

Подставляем известные значения:

$ \sin(\alpha - \beta) = \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{3\sqrt{7}}{8}\right) - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) \cdot \left(\frac{1}{8}\right) = \frac{3\sqrt{7}}{32} - \frac{\sqrt{15}}{32} = \frac{3\sqrt{7} - \sqrt{15}}{32} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{7} - \sqrt{15}}{32} $.

1. Значение выражения $2\arcsin(-0,5) - 2\arccos2\pi + \text{arctg}\sqrt{3}$ равно:

A) $-\frac{3\pi}{4}$;

B) $2\pi$;

C) $\pi$;

D) $-2\pi$.

1. Для нахождения значения выражения $2\arcsin(-0,5) - 2\arccos(2\pi) + \operatorname{arctg}\sqrt{3}$ необходимо вычислить значение каждого его компонента.

Сначала вычислим значение первого члена: $2\arcsin(-0,5)$. По определению, $\arcsin(x)$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Так как $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -0,5$ и угол $-\frac{\pi}{6}$ находится в указанном диапазоне, то $\arcsin(-0,5) = -\frac{\pi}{6}$. Следовательно, $2\arcsin(-0,5) = 2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3}$.

Далее вычислим значение третьего члена: $\operatorname{arctg}\sqrt{3}$. По определению, $\operatorname{arctg}(x)$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и угол $\frac{\pi}{3}$ находится в указанном диапазоне, то $\operatorname{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь рассмотрим второй член: $-2\arccos(2\pi)$. Область определения функции арккосинус, $\arccos(x)$, — это отрезок $[-1, 1]$. Значение $2\pi \approx 6,28$ не входит в эту область, поэтому выражение $\arccos(2\pi)$ не определено. Скорее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если предположить, что вместо $2\pi$ в аргументе арккосинуса должно стоять число $-1$, то задача получает решение, совпадающее с одним из предложенных вариантов ответа.

Примем, что искомый член равен $-2\arccos(-1)$. По определению, $\arccos(x)$ — это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$. Так как $\cos(\pi) = -1$ и $\pi$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, то $\arccos(-1) = \pi$. Таким образом, $-2\arccos(-1) = -2 \cdot \pi = -2\pi$.

Теперь подставим все вычисленные значения в исправленное выражение:

$2\arcsin(-0,5) - 2\arccos(-1) + \operatorname{arctg}\sqrt{3} = -\frac{\pi}{3} - 2\pi + \frac{\pi}{3}$.

Складывая полученные значения, получаем итоговый результат:

$(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) - 2\pi = 0 - 2\pi = -2\pi$.

Этот результат соответствует варианту ответа D.

Ответ: $-2\pi$.

2. Значение выражения $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 3\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$ равно:
A) $\frac{\pi}{2}$;
B) $\frac{2\pi}{3}$;
C) $-0.5\pi$;
D) $-\pi$.

Для нахождения значения выражения необходимо последовательно вычислить значение каждого его члена.

1. Вычислим значение $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $.Используем формулу для арккосинуса от отрицательного аргумента: $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.Так как $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} $.Следовательно, $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

2. Вычислим значение $ \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) $.Используем формулу для арккотангенса от отрицательного аргумента: $ \text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x) $.Так как $ \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $, то $ \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3} $.Следовательно, $ \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

3. Вычислим значение $ \arcsin(-\frac{1}{2}) $.Используем формулу для арксинуса от отрицательного аргумента: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.Так как $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $, то $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $.Следовательно, $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - \arcsin(-\frac{1}{2}) = \frac{5\pi}{6} - 3 \cdot \frac{2\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6}) $.

Выполним арифметические действия:

$ \frac{5\pi}{6} - \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} - 2\pi + \frac{\pi}{6} $.

Сгруппируем слагаемые:

$ (\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) - 2\pi = \frac{6\pi}{6} - 2\pi = \pi - 2\pi = -\pi $.

Полученное значение $ -\pi $ соответствует варианту ответа D.

Ответ: D) $ -\pi $.

3. Значение выражения $\cos \left(\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)$ равно:

A) $\frac{\pi}{3}$; B) $0,5$; C) $-0,5$; D) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для того чтобы найти значение выражения $ \cos\left(\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $, необходимо последовательно вычислить значение внутренней, а затем внешней функции.

1. Вычисление арктангенса.

Сначала найдем значение выражения $ \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $. По определению, арктангенс числа $x$ – это угол $\alpha$ из интервала $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, тангенс которого равен $x$. Следовательно, нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.Поскольку угол $ \frac{\pi}{6} $ принадлежит области значений арктангенса, то есть интервалу $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, мы можем заключить, что:$ \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6} $.

2. Вычисление косинуса.

Теперь подставим найденное значение угла в исходное выражение:$ \cos\left(\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) $.

Значение косинуса для угла $ \frac{\pi}{6} $ является табличным:$ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Таким образом, значение всего выражения равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это соответствует варианту ответа D).

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

4. При каких значениях $x$ имеет смысл выражение $3x - 3\arccos(2-x)$:

A) $[-2;5]$;

B) $[-1;1]$;

C) $[1;3]$;

D) $[-2;2]$?

Выражение $3x - 3\arccos(2-x)$ имеет смысл тогда, когда определены все входящие в него функции. Слагаемое $3x$ определено для всех действительных чисел $x$. Слагаемое, содержащее арккосинус, определено только тогда, когда его аргумент, то есть $(2-x)$, находится в области определения функции арккосинус.

Область определения функции $y = \arccos(z)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для того чтобы выражение имело смысл, должно выполняться следующее двойное неравенство:

$-1 \le 2 - x \le 1$

Решим это неравенство относительно переменной $x$.

1. Вычтем число 2 из всех трёх частей неравенства:

$-1 - 2 \le (2 - x) - 2 \le 1 - 2$

$-3 \le -x \le -1$

2. Умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-3) \cdot (-1) \ge (-x) \cdot (-1) \ge (-1) \cdot (-1)$

$3 \ge x \ge 1$

3. Запишем полученное неравенство в более привычном виде, поменяв местами левую и правую части:

$1 \le x \le 3$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, принадлежащих отрезку $[1, 3]$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту C.

Ответ: C) $[1; 3]$

5. Значение выражения $\cos\left(2\arcsin\frac{1}{2}\right)$ равно:

A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

B) $-0,5$;

C) $0,5$;

D) $\frac{\pi}{3}$.

Для нахождения значения выражения $\cos(2\arcsin\frac{1}{2})$ можно использовать два способа.

Способ 1: Последовательное вычисление

Сначала вычислим значение внутреннего выражения, то есть $\arcsin\frac{1}{2}$. По определению, арксинус числа $x$ есть угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Для $x = \frac{1}{2}$ искомый угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, это $\frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Таким образом, $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

$\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{2\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$. В десятичном виде это 0,5.

Способ 2: Использование тригонометрических тождеств

Можно использовать формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{2}$. Тогда по определению арксинуса $\sin\alpha = \sin(\arcsin\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Подставим значение $\sin\alpha$ в формулу:

$\cos(2\alpha) = 1 - 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая полученное значение 0,5 с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту C).

Ответ: 0,5.

6. Множество значений выражения $5-3\mathrm{arcctg}x$ равно:

A) $[5-3\pi; 5+3\pi]$;

B) $(5-3\pi; 5)$;

C) $[3; 3+3\pi]$;

D) $(5-3\pi; 5]$.

Для того чтобы найти множество значений выражения $5-3\text{arccotg}x$, необходимо последовательно проанализировать, как преобразования влияют на область значений базовой функции $y = \text{arccotg}x$.

1. Область значений функции арккотангенса. По определению, функция $y = \text{arccotg}x$ принимает значения в интервале $(0; \pi)$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$0 < \text{arccotg}x < \pi$

2. Умножим все части неравенства на 3:

$3 \cdot 0 < 3 \cdot \text{arccotg}x < 3 \cdot \pi$

$0 < 3\text{arccotg}x < 3\pi$

3. Умножим неравенство на -1. При этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$0 > -3\text{arccotg}x > -3\pi$

Для удобства запишем неравенство в порядке возрастания:

$-3\pi < -3\text{arccotg}x < 0$

4. Прибавим 5 ко всем частям полученного неравенства:

$5 - 3\pi < 5 - 3\text{arccotg}x < 5 + 0$

$5 - 3\pi < 5 - 3\text{arccotg}x < 5$

Следовательно, множество значений исходного выражения — это открытый интервал $(5 - 3\pi; 5)$.

Ответ: B) $(5 - 3\pi; 5)$.

7. Корнями уравнения $\arcsin(x^2 - 3) = \frac{\pi}{2}$ являются числа:

A) 2;

B) -2;

C) -2; 2;

D) $\pi$.

Для решения уравнения $\arcsin(x^2 - 3) = \frac{\pi}{2}$ воспользуемся определением арксинуса.

Если $\arcsin(y) = z$, то это равносильно тому, что $y = \sin(z)$, при этом должны выполняться ограничения: аргумент $y$ должен находиться в диапазоне $[-1, 1]$, а значение $z$ — в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Применим это определение к нашему уравнению. Значение $\frac{\pi}{2}$ находится в области значений арксинуса.

$x^2 - 3 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. Подставим это значение в уравнение:

$x^2 - 3 = 1$

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 = 1 + 3$

$x^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Выполним проверку, чтобы убедиться, что аргумент арксинуса ($x^2 - 3$) находится в допустимом диапазоне $[-1, 1]$ для найденных корней.

Для $x = 2$: $x^2 - 3 = (2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Значение $1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому корень является решением.

Для $x = -2$: $x^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Значение $1$ также принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому этот корень тоже является решением.

Таким образом, оба числа, -2 и 2, являются корнями уравнения. Это соответствует варианту C).

Ответ: C) -2; 2.

8. Значение выражения $2\text{arcctg}(-\text{ctg}5)$ равно:

A) $2\pi - 5;$

B) $10\pi;$

C) $2(2\pi-5);$

D) $-5.$

Для нахождения значения выражения $2\text{arcctg}(-\text{ctg}5)$ необходимо последовательно упростить его, используя свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Шаг 1: Преобразование аргумента котангенса.

Воспользуемся тождеством для котангенса, связанным с его периодичностью. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\text{ctg}(x) = \text{ctg}(x + k\pi)$ для любого целого $k$. Мы можем переписать $\text{ctg}5$ как $\text{ctg}(5-\pi)$, так как это не изменит значение функции.

Шаг 2: Упрощение выражения под знаком арккотангенса.

Исходное выражение можно записать как $2\text{arcctg}(-\text{ctg}(5-\pi))$.

Далее используем свойство нечетности котангенса, выраженное в формуле приведения: $-\text{ctg}(y) = \text{ctg}(\pi - y)$.

Применим это тождество для $y = 5-\pi$:

$-\text{ctg}(5-\pi) = \text{ctg}(\pi - (5-\pi)) = \text{ctg}(\pi - 5 + \pi) = \text{ctg}(2\pi - 5)$.

Таким образом, исходное выражение эквивалентно следующему:

$2\text{arcctg}(\text{ctg}(2\pi - 5))$.

Шаг 3: Вычисление значения арккотангенса.

По определению, $\text{arcctg}(\text{ctg}(z)) = z$ только в том случае, если $z$ принадлежит области значений функции арккотангенс, то есть $z \in (0, \pi)$.

Проверим, выполняется ли это условие для нашего аргумента $z = 2\pi - 5$.

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$2\pi - 5 \approx 2 \cdot 3.14159 - 5 = 6.28318 - 5 = 1.28318$.

Значение $1.28318$ находится в интервале $(0, \pi)$, так как $0 < 1.28318 < 3.14159$.

Следовательно, условие выполняется, и мы можем записать:

$\text{arcctg}(\text{ctg}(2\pi - 5)) = 2\pi - 5$.

Шаг 4: Окончательный расчет.

Подставляем полученное значение обратно в выражение:

$2 \cdot (2\pi - 5) = 2(2\pi - 5)$.

Данный результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: $2(2\pi-5)$.

9. Областью определения функции $y=3\arcsin \frac{1}{x-2}$ является множество:

A) $(-\infty; 1]\cup[3; \infty);$

B) $[1; 3];$

C) $(-\infty; 0] \cup [3; \infty);$

D) $[3; \infty).$

Область определения функции $y = 3\arcsin(u)$ задается условием, что аргумент арксинуса $u$ должен находиться в промежутке от $-1$ до $1$ включительно. То есть, $-1 \le u \le 1$.

В данном случае, функция имеет вид $y = 3\arcsin\frac{1}{x-2}$, следовательно, ее аргумент $u = \frac{1}{x-2}$.

Для нахождения области определения функции необходимо решить двойное неравенство:

$-1 \le \frac{1}{x-2} \le 1$

Также следует учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Данное двойное неравенство можно решить, рассмотрев его как систему двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{1}{x-2} \le 1 \\ \frac{1}{x-2} \ge -1 \end{cases}$

Однако, более быстрый способ решения — это использование свойства модуля. Неравенство вида $-a \le z \le a$ (где $a>0$) эквивалентно $|z| \le a$. Применительно к нашей задаче:

$|\frac{1}{x-2}| \le 1$

Так как модуль числа всегда неотрицателен, это можно переписать как:

$\frac{1}{|x-2|} \le 1$

Поскольку $x \neq 2$, то $|x-2| > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства на $|x-2|$, не меняя знака неравенства:

$1 \le |x-2|$

или

$|x-2| \ge 1$

Это неравенство с модулем распадается на совокупность двух неравенств:

1) $x - 2 \ge 1$

2) $x - 2 \le -1$

Решим каждое из них:

1) $x - 2 \ge 1 \implies x \ge 3$

2) $x - 2 \le -1 \implies x \le 1$

Объединяя эти два решения, получаем область определения исходной функции. Это все значения $x$, которые меньше или равны $1$, а также все значения $x$, которые больше или равны $3$.

В виде множества это записывается как $(-\infty; 1] \cup [3; \infty)$.

Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту А.

A)

Ответ: $(-\infty; 1] \cup [3; \infty)$

15. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $f'(x) < 0$, если:

1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 2$;

2) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x$;

3) $f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x$;

4) $f(x) = x^2 + 2x - 3.

Для решения задачи необходимо для каждой функции найти её производную $f'(x)$, решить неравенство $f'(x) < 0$ и затем найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 - 2$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 2)' = 3x^2 - 6x$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 6x < 0$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - 2x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $x(x - 2) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Решением неравенства является интервал $(0; 2)$.

Нам нужно найти наибольшее целое число в этом интервале. Единственное целое число, которое больше 0 и меньше 2, это 1.

Ответ: 1

2) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 6x)' = 3x^2 - 6x - 6$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 6x - 6 < 0$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - 2x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$.

Оценим значения корней: $\sqrt{3} \approx 1.732$.

$1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732$.

$1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732$.

Таким образом, решение неравенства: $-0.732 < x < 2.732$.

Целые числа, входящие в этот интервал: 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

3) Дана функция $f(x) = 2x^3 + x^2 - 4x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^3 + x^2 - 4x)' = 6x^2 + 2x - 4$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$6x^2 + 2x - 4 < 0$

Разделим обе части на 2:

$3x^2 + x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{-1 - 5}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 + x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-1 < x < \frac{2}{3}$.

Наибольшее целое число в этом интервале — 0.

Ответ: 0

4) Дана функция $f(x) = x^2 + 2x - 3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 + 2x - 3)' = 2x + 2$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2x + 2 < 0$

$2x < -2$

$x < -1$

Нам нужно найти наибольшее целое число, которое меньше -1. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., -4, -3, -2. Наибольшее из них — -2.

Ответ: -2

16. 1) Найдите наименьшее целое решение неравенства $\frac{x-3}{2} \le \frac{(\sqrt{x}-5)^2}{x-6}$.

2) Найдите наибольшее целое решение неравенства $\frac{6-x}{\sqrt{x^2-8x+7}}$.

3) Решите неравенство $(x^2+2x-8)\cdot\sqrt{x^2+x-2} \le 0$.

1) Найдите наименьшее целое решение неравенства $\frac{x-3}{2} \le \frac{(\sqrt{x}-5)^2}{x-6}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 6 \ne 0 \implies x \ne 6$.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in [0, 6) \cup (6, \infty)$.

Рассмотрим два случая, в зависимости от знака знаменателя $x-6$.

Случай 1: $x \in [0, 6)$. В этом интервале $x-6 < 0$.

Числитель правой части $(\sqrt{x}-5)^2$ всегда неотрицателен. Следовательно, вся правая часть $\frac{(\sqrt{x}-5)^2}{x-6}$ является неположительной (меньше или равна нулю).

Рассмотрим левую часть $\frac{x-3}{2}$:

- При $x \in (3, 6)$ левая часть положительна. Неравенство "положительное число $\le$ неположительное число" неверно. Решений нет.

- При $x = 3$ левая часть равна 0. Неравенство принимает вид $0 \le \frac{(\sqrt{3}-5)^2}{3-6}$, что означает $0 \le \text{отрицательное число}$. Это неверно. Решений нет.

- При $x \in [0, 3)$ левая часть неположительна. В этом случае обе части неравенства неположительны. Проверим, подставив любое значение из этого интервала, например $x=1$:

$\frac{1-3}{2} \le \frac{(\sqrt{1}-5)^2}{1-6} \implies -1 \le \frac{(-4)^2}{-5} \implies -1 \le -\frac{16}{5} \implies -1 \le -3.2$. Это неверно.

Таким образом, в интервале $[0, 6)$ решений нет.

Случай 2: $x \in (6, \infty)$. В этом интервале $x-6 > 0$.

Можно умножить обе части неравенства на положительное число $2(x-6)$, не меняя знака неравенства:

$(x-3)(x-6) \le 2(\sqrt{x}-5)^2$

Раскроем скобки:

$x^2 - 6x - 3x + 18 \le 2(x - 10\sqrt{x} + 25)$

$x^2 - 9x + 18 \le 2x - 20\sqrt{x} + 50$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 11x - 32 + 20\sqrt{x} \le 0$

Обозначим функцию $f(x) = x^2 - 11x - 32 + 20\sqrt{x}$. Нам нужно найти, где $f(x) \le 0$ на интервале $(6, \infty)$.

Проверим значения функции в целых точках, начиная с $x=7$:

- $f(7) = 7^2 - 11(7) - 32 + 20\sqrt{7} = 49 - 77 - 32 + 20\sqrt{7} = -60 + 20\sqrt{7}$. Так как $4 < 7 < 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. $20\sqrt{7} < 20 \cdot 3 = 60$. Значит, $f(7) < 0$, и $x=7$ является решением.

- $f(8) = 8^2 - 11(8) - 32 + 20\sqrt{8} = 64 - 88 - 32 + 40\sqrt{2} = -56 + 40\sqrt{2}$. Так как $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$, то $40\sqrt{2} > 40 \cdot 1.4 = 56$. Значит, $f(8) > 0$, и $x=8$ не является решением.

Поскольку производная $f'(x) = 2x - 11 + \frac{10}{\sqrt{x}}$ положительна при $x>6$, функция $f(x)$ возрастает на интервале $(6, \infty)$. Это означает, что если $f(7) < 0$ и $f(8) > 0$, то все решения неравенства $f(x) \le 0$ находятся в промежутке $(6, x_0]$, где $7 < x_0 < 8$.

Единственное целое число в этом промежутке — это 7.

Наименьшее целое решение неравенства — это 7.

Ответ: 7.

2) Найдите наибольшее целое решение неравенства $\frac{6-x}{\sqrt{x^2 - 8x + 7}} \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$x^2 - 8x + 7 > 0$.

Корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 7$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (7, \infty)$.

В области допустимых значений знаменатель $\sqrt{x^2 - 8x + 7}$ всегда положителен. Поэтому знак всей дроби совпадает со знаком числителя.

Неравенство равносильно условию $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$x \le 6$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (7, \infty)$.

- Пересечение $x \le 6$ с $(-\infty, 1)$ дает интервал $(-\infty, 1)$.

- Пересечение $x \le 6$ с $(7, \infty)$ дает пустое множество.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1)$.

Требуется найти наибольшее целое решение. В интервале $(-\infty, 1)$ содержатся целые числа $\dots, -2, -1, 0$. Наибольшее из них — 0.

Ответ: 0.

3) Решите неравенство $(x^2 + 2x - 8) \cdot \sqrt{x^2 + x - 2} \le 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 + x - 2 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется на концах и вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

Произведение двух множителей неположительно. Второй множитель, $\sqrt{x^2 + x - 2}$, в ОДЗ всегда неотрицателен. Поэтому неравенство может выполняться только в двух случаях.

Случай 1: Произведение равно нулю.

Это происходит, если хотя бы один из множителей равен нулю.

- $\sqrt{x^2 + x - 2} = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0$. Корни $x = -2$ и $x = 1$. Эти значения входят в ОДЗ и являются решениями.

- $x^2 + 2x - 8 = 0$. Корни $x = -4$ и $x = 2$. Оба значения входят в ОДЗ ($(-4 \le -2)$ и $(2 \ge 1)$), поэтому они также являются решениями.

Случай 2: Произведение строго отрицательно.

Так как $\sqrt{x^2 + x - 2}$ не может быть отрицательным, этот случай возможен, только если первый множитель строго отрицателен, а второй строго положителен.

$\begin{cases} x^2 + 2x - 8 < 0 \\ \sqrt{x^2 + x - 2} > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 2x - 8 < 0$. Корни $x_1=-4, x_2=2$. Неравенство выполняется между корнями: $x \in (-4, 2)$.

Второе неравенство $x^2 + x - 2 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$.

Найдем пересечение этих множеств: $x \in (-4, 2) \cap ((-\infty, -2) \cup (1, \infty))$.

Это дает $x \in (-4, -2) \cup (1, 2)$.

Объединим решения из обоих случаев:

- Точки из случая 1: $\{-4, -2, 1, 2\}$.

- Интервалы из случая 2: $(-4, -2) \cup (1, 2)$.

Объединение дает замкнутые интервалы: $[-4, -2] \cup [1, 2]$.

Ответ: $x \in [-4, -2] \cup [1, 2]$.

17. Решите неравенство $f'(x) \ge 0$, если:

1) f(x)

$=\frac{1}{3}\cos3x + \sin x;$

2) f(x)

$=2\sin\frac{x}{2} - \sqrt{3} x;$

3) f(x)

$=3\cos^2x + 2\sin^2x + x;$

4) f(x)

$=\sin^23x - \frac{1}{12}\cos6x + x;$

5) f(x)

$=\arccos3x + 2x + 3;$

6) f(x)

$=\mathrm{arcctg}2x + 2x - 1.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}\cos3x + \sin x$. Найдем ее производную: $f'(x) = (\frac{1}{3}\cos3x + \sin x)' = \frac{1}{3}(-\sin(3x) \cdot 3) + \cos x = -\sin(3x) + \cos x$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $\cos x - \sin(3x) \ge 0$. Преобразуем выражение, используя формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$. Для этого представим $\sin(3x)$ как $\cos(\frac{\pi}{2} - 3x)$: $\cos x - \cos(\frac{\pi}{2} - 3x) \ge 0$. $-2\sin\frac{x + (\frac{\pi}{2} - 3x)}{2}\sin\frac{x - (\frac{\pi}{2} - 3x)}{2} \ge 0$. $-2\sin(\frac{\pi/2 - 2x}{2})\sin(\frac{4x - \pi/2}{2}) \ge 0$. $-2\sin(\frac{\pi}{4} - x)\sin(2x - \frac{\pi}{4}) \ge 0$. Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin a$: $2\sin(x - \frac{\pi}{4})\sin(2x - \frac{\pi}{4}) \ge 0$. Это неравенство решается методом интервалов. Корни уравнения $f'(x)=0$ находятся из условий: $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \Rightarrow x - \frac{\pi}{4} = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = 0 \Rightarrow 2x - \frac{\pi}{4} = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. Нанесем эти корни на числовую окружность и определим знаки $f'(x)$ в полученных интервалах. Решением неравенства будет объединение следующих интервалов: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \left[-\frac{3\pi}{8} + 2\pi k, \frac{\pi}{8} + 2\pi k\right] \cup \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{8} + 2\pi k\right] \cup \left[\frac{9\pi}{8} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right] \right)$.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \left[-\frac{3\pi}{8} + 2\pi k, \frac{\pi}{8} + 2\pi k\right] \cup \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{8} + 2\pi k\right] \cup \left[\frac{9\pi}{8} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right] \right)$.

2) Дана функция $f(x) = 2\sin^2\frac{x}{2} - \sqrt{3}x$. Упростим функцию, используя формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$: $f(x) = 2\left(\frac{1 - \cos x}{2}\right) - \sqrt{3}x = 1 - \cos x - \sqrt{3}x$. Найдем производную: $f'(x) = (1 - \cos x - \sqrt{3}x)' = \sin x - \sqrt{3}$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $\sin x - \sqrt{3} \ge 0 \Rightarrow \sin x \ge \sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, а максимальное значение функции $\sin x$ равно 1, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

3) Дана функция $f(x) = 3\cos^2x + 2\sin^2x + x$. Упростим функцию, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$: $f(x) = 2\cos^2x + \cos^2x + 2\sin^2x + x = 2(\cos^2x + \sin^2x) + \cos^2x + x = 2 + \cos^2x + x$. Найдем производную: $f'(x) = (2 + \cos^2x + x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) + 1 = 1 - 2\sin x\cos x$. Используя формулу синуса двойного угла $2\sin x\cos x = \sin(2x)$, получаем: $f'(x) = 1 - \sin(2x)$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $1 - \sin(2x) \ge 0 \Rightarrow 1 \ge \sin(2x)$. Это неравенство верно для любых действительных значений $x$, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

4) Дана функция $f(x) = \sin^23x - \frac{1}{12}\cos6x + x$. Упростим функцию, используя формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$: $f(x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2} - \frac{1}{12}\cos(6x) + x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x) - \frac{1}{12}\cos(6x) + x = \frac{1}{2} - \frac{7}{12}\cos(6x) + x$. Найдем производную: $f'(x) = (\frac{1}{2} - \frac{7}{12}\cos(6x) + x)' = -\frac{7}{12}(-\sin(6x) \cdot 6) + 1 = \frac{7}{2}\sin(6x) + 1$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $\frac{7}{2}\sin(6x) + 1 \ge 0 \Rightarrow \sin(6x) \ge -\frac{2}{7}$. Решение этого неравенства имеет вид: $\arcsin(-\frac{2}{7}) + 2\pi k \le 6x \le \pi - \arcsin(-\frac{2}{7}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. $-\arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi k \le 6x \le \pi + \arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi k$. Разделим все части на 6: $-\frac{1}{6}\arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{\pi k}{3} \le x \le \frac{\pi}{6} + \frac{1}{6}\arcsin(\frac{2}{7}) + \frac{\pi k}{3}$.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ -\frac{1}{6}\arcsin\frac{2}{7} + \frac{\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{1}{6}\arcsin\frac{2}{7} + \frac{\pi k}{3} \right]$.

5) Дана функция $f(x) = \arccos(3x) + 2x + 3$. Область определения функции задается условием $-1 \le 3x \le 1$, то есть $-\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3}$. Найдем производную, используя формулу $(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$: $f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{1 - (3x)^2}} + 2 = 2 - \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$. Производная определена при $1 - 9x^2 > 0$, то есть $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$ на этом интервале: $2 - \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}} \ge 0 \Rightarrow 2 \ge \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$. Так как обе части неравенства положительны, можно возвести в квадрат: $4 \ge \frac{9}{1 - 9x^2} \Rightarrow 4(1 - 9x^2) \ge 9 \Rightarrow 4 - 36x^2 \ge 9 \Rightarrow -36x^2 \ge 5 \Rightarrow x^2 \le -\frac{5}{36}$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

6) Дана функция $f(x) = \text{arcctg}2x + 2x - 1$. Область определения функции - все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную, используя формулу $(\text{arcctg } u)' = -\frac{u'}{1+u^2}$: $f'(x) = -\frac{2}{1 + (2x)^2} + 2 = 2 - \frac{2}{1 + 4x^2}$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $2 - \frac{2}{1 + 4x^2} \ge 0 \Rightarrow 2 \ge \frac{2}{1 + 4x^2} \Rightarrow 1 \ge \frac{1}{1 + 4x^2}$. Так как $1 + 4x^2 > 0$ для всех $x$, можно умножить обе части на это выражение: $1 + 4x^2 \ge 1 \Rightarrow 4x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любых действительных значений $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

18. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

1) $f(x) = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x$;

2) $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$;

3) $f(x) = 2x - \operatorname{tg}x$;

4) $f(x) = x + \operatorname{ctg}x$.

1)Дана функция $f(x) = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x$.

Для решения уравнения $f'(x) = 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x)' = (\cos x)' + (\frac{\sqrt{3}}{2}x)' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его общее решение записывается в виде:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем окончательное решение:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)Дана функция $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x - \frac{x}{2})' = (\sin x)' - (\frac{1}{2}x)' = \cos x - \frac{1}{2}$.

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$\cos x - \frac{1}{2} = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)Дана функция $f(x) = 2x - \tan x$.

Найдем производную функции. Область определения функции $f(x)$ и ее производной $f'(x)$ — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$f'(x) = (2x - \tan x)' = (2x)' - (\tan x)' = 2 - \frac{1}{\cos^2 x}$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$2 - \frac{1}{\cos^2 x} = 0$

$2 = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\cos^2 x = \frac{1}{2}$

Это уравнение распадается на два: $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ является серия корней $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решением уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ является серия корней $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти две серии решений, получаем более компактную запись:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Все найденные корни принадлежат области определения функции.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4)Дана функция $f(x) = x + \cot x$.

Найдем производную функции. Область определения функции $f(x)$ и ее производной $f'(x)$ — все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$f'(x) = (x + \cot x)' = (x)' + (\cot x)' = 1 - \frac{1}{\sin^2 x}$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$1 - \frac{1}{\sin^2 x} = 0$

$1 = \frac{1}{\sin^2 x}$

$\sin^2 x = 1$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\sin x = 1$ и $\sin x = -1$.

Решением уравнения $\sin x = 1$ является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решением уравнения $\sin x = -1$ является $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти две серии решений, получаем одну общую формулу:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Все найденные корни принадлежат области определения функции.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

19. 1) Найдите все значения А, при каждом из которых уравнение $5\sin x + 2\cos x = A$ имеет решение.

2) Найдите все значения А, при каждом из которых уравнение $3\sin 2x - 4\cos 2x = A$ имеет решение.

1) Уравнение вида $a \sin(u) + b \cos(u) = A$ имеет решение тогда и только тогда, когда значение $A$ принадлежит области значений функции $f(u) = a \sin(u) + b \cos(u)$. Для нахождения области значений этой функции используется метод введения вспомогательного угла. Левая часть уравнения преобразуется следующим образом: $a \sin(u) + b \cos(u) = \sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(u) + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos(u) \right)$. Поскольку сумма квадратов коэффициентов в скобках равна 1, то есть $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 + \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = 1$, то существует такой угол $\phi$, что $\cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Тогда выражение в левой части можно записать как $\sqrt{a^2+b^2}(\cos\phi\sin(u) + \sin\phi\cos(u))$, что по формуле синуса суммы равно $\sqrt{a^2+b^2}\sin(u+\phi)$. Так как функция синус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$, то выражение $\sqrt{a^2+b^2}\sin(u+\phi)$ принимает значения в диапазоне $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы $A$ принадлежало этому диапазону: $-\sqrt{a^2+b^2} \le A \le \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем уравнении $5\sin x + 2\cos x = A$ коэффициенты $a=5$ и $b=2$. Вычислим $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5^2+2^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}$. Таким образом, уравнение имеет решение, когда $A$ находится в пределах от $-\sqrt{29}$ до $\sqrt{29}$ включительно. Ответ: $A \in [-\sqrt{29}, \sqrt{29}]$.

2) Данное уравнение $3\sin 2x - 4\cos 2x = A$ является уравнением того же типа, что и в первом пункте. Здесь $u=2x$, $a=3$ и $b=-4$. Аргумент $2x$ вместо $x$ не влияет на область значений левой части, так как функция $\sin(2x+\phi)$ принимает все те же значения из отрезка $[-1, 1]$, что и функция с аргументом $x$. Используем ту же формулу для нахождения диапазона возможных значений $A$. Вычислим $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. Следовательно, уравнение имеет решение, когда $A$ принадлежит отрезку $[-5, 5]$. Ответ: $A \in [-5, 5]$.

20. Решите уравнение:

1) $\sin^4 \frac{x}{2} - \cos^4 \frac{x}{2} = \frac{1}{4};$

2) $\cos 10x + \sin 10x = \sqrt{15} \sin 15x;$

3) $\cos^2 x - \cos^2 2x + \cos^2 3x - \cos^2 4x = 0;$

4) $5\sin^2 x - \sqrt{3} \cos x \cdot \sin x + 6\cos^2 x - 5 = 0;$

5) $(x - 1)^2(x^2 - 2x) - 12 = 0;$

6) $(x - 3)^2(x^2 - 6x) + 12 = 0;$

7) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) - 3 = 0;$

8) $(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x - 2) + 1 = 0;$

9) $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x + \frac{1}{x}) + 12 = 0;$

10) $(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x - \frac{2}{x}) - 16 = 0.$

1) $sin^4 \frac{x}{2} - cos^4 \frac{x}{2} = \frac{1}{4}$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(sin^2 \frac{x}{2} - cos^2 \frac{x}{2})(sin^2 \frac{x}{2} + cos^2 \frac{x}{2}) = \frac{1}{4}$

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$:

$-(cos^2 \frac{x}{2} - sin^2 \frac{x}{2}) \cdot 1 = \frac{1}{4}$

$-cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \frac{1}{4}$

$-cos(x) = \frac{1}{4}$

$cos(x) = -\frac{1}{4}$

Решением этого уравнения является:

$x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $cos(10x) + sin(10x) = \sqrt{15} sin(15x)$

Это уравнение в представленном виде, скорее всего, не имеет решения в элементарных функциях и, вероятно, содержит опечатку в условии. Наиболее вероятная опечатка — коэффициент $\sqrt{15}$ вместо $\sqrt{2}$, так как это делает задачу стандартной. Ниже приведено решение для исправленного уравнения $cos(10x) + sin(10x) = \sqrt{2} sin(15x)$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного аргумента:

$\sqrt{1^2+1^2}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos(10x) + \frac{1}{\sqrt{2}}sin(10x)) = \sqrt{2} sin(15x)$

$\sqrt{2}(sin(\frac{\pi}{4})cos(10x) + cos(\frac{\pi}{4})sin(10x)) = \sqrt{2} sin(15x)$

Используем формулу синуса суммы $sin(\alpha+\beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$:

$\sqrt{2}sin(10x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}sin(15x)$

$sin(10x + \frac{\pi}{4}) = sin(15x)$

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $15x = 10x + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$5x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}$

2) $15x = \pi - (10x + \frac{\pi}{4}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$15x = \frac{3\pi}{4} - 10x + 2\pi n$

$25x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{3\pi}{100} + \frac{2\pi n}{25}$

Ответ: (для исправленного уравнения) $x = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}, x = \frac{3\pi}{100} + \frac{2\pi n}{25}, k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $cos^2x - cos^22x + cos^23x - cos^24x = 0$

Используем формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1+cos(2x)}{2} - \frac{1+cos(4x)}{2} + \frac{1+cos(6x)}{2} - \frac{1+cos(8x)}{2} = 0$

Умножим обе части на 2:

$(1+cos(2x)) - (1+cos(4x)) + (1+cos(6x)) - (1+cos(8x)) = 0$

$cos(2x) - cos(4x) + cos(6x) - cos(8x) = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$(cos(6x) + cos(2x)) - (cos(8x) + cos(4x)) = 0$

$2cos(\frac{6x+2x}{2})cos(\frac{6x-2x}{2}) - 2cos(\frac{8x+4x}{2})cos(\frac{8x-4x}{2}) = 0$

$2cos(4x)cos(2x) - 2cos(6x)cos(2x) = 0$

$2cos(2x)(cos(4x) - cos(6x)) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

2) $cos(4x) - cos(6x) = 0 \implies cos(6x) = cos(4x)$

Отсюда $6x = \pm 4x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

a) $6x = 4x + 2\pi n \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n$

b) $6x = -4x + 2\pi n \implies 10x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}$

Заметим, что серия решений $x = \pi n$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi n}{5}$ (при n, кратных 5). Таким образом, решения второго уравнения $x = \frac{\pi n}{5}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi n}{5}, k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $5sin^2x - \sqrt{3} cosx \cdot sinx + 6cos^2x - 5 = 0$

Заменим 5 на $5(sin^2x + cos^2x)$:

$5sin^2x - \sqrt{3} cosx \cdot sinx + 6cos^2x - 5(sin^2x + cos^2x) = 0$

$5sin^2x - \sqrt{3} cosx \cdot sinx + 6cos^2x - 5sin^2x - 5cos^2x = 0$

$cos^2x - \sqrt{3} cosx \cdot sinx = 0$

Вынесем $cosx$ за скобки:

$cosx(cosx - \sqrt{3}sinx) = 0$

Уравнение распадается на два:

1) $cosx = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $cosx - \sqrt{3}sinx = 0$. Заметим, что $cosx \neq 0$, иначе $sinx$ тоже был бы равен 0, что невозможно. Разделим на $cosx$:

$1 - \sqrt{3}tanx = 0 \implies tanx = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = \frac{\pi}{6} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

5) $(x - 1)^2(x^2 - 2x) - 12 = 0$

Заметим, что $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$. Сделаем замену $t = x^2 - 2x$.

Уравнение примет вид:

$(t+1)t - 12 = 0$

$t^2 + t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3, t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 - 2x = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0$. Отсюда $x_1 = 3, x_2 = -1$.

2) $x^2 - 2x = -4 \implies x^2 - 2x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $x = -1, x = 3$.

6) $(x - 3)^2(x^2 - 6x) + 12 = 0$

Заметим, что $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$. Сделаем замену $t = x^2 - 6x$.

Уравнение примет вид:

$(t+9)t + 12 = 0$

$t^2 + 9t + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:

$D = 9^2 - 4(1)(12) = 81 - 48 = 33$.

$t = \frac{-9 \pm \sqrt{33}}{2}$.

Выполним обратную замену $x^2 - 6x = t \implies x^2 - 6x - t = 0$.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4t}}{2} = 3 \pm \sqrt{9+t}$.

1) $t_1 = \frac{-9 + \sqrt{33}}{2} \implies 9 + t_1 = 9 + \frac{-9 + \sqrt{33}}{2} = \frac{18-9+\sqrt{33}}{2} = \frac{9+\sqrt{33}}{2}$.

$x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{\frac{9+\sqrt{33}}{2}}$.

2) $t_2 = \frac{-9 - \sqrt{33}}{2} \implies 9 + t_2 = 9 + \frac{-9 - \sqrt{33}}{2} = \frac{18-9-\sqrt{33}}{2} = \frac{9-\sqrt{33}}{2}$.

$x_{3,4} = 3 \pm \sqrt{\frac{9-\sqrt{33}}{2}}$.

Ответ: $x = 3 \pm \sqrt{\frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}}$.

7) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) - 3 = 0$

Сделаем замену $t = x^2 - 3x$.

Уравнение примет вид:

$(t+1)(t+3) - 3 = 0$

$t^2 + 4t + 3 - 3 = 0$

$t^2 + 4t = 0 \implies t(t+4) = 0$.

Отсюда $t_1 = 0, t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 - 3x = 0 \implies x(x-3) = 0$. Отсюда $x_1 = 0, x_2 = 3$.

2) $x^2 - 3x = -4 \implies x^2 - 3x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $x = 0, x = 3$.

8) $(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x - 2) + 1 = 0$

Сделаем замену $t = x^2 + 3x$.

Уравнение примет вид:

$(t-4)(t-2) + 1 = 0$

$t^2 - 6t + 8 + 1 = 0$

$t^2 - 6t + 9 = 0 \implies (t-3)^2 = 0$.

Отсюда $t = 3$.

Выполним обратную замену:

$x^2 + 3x = 3 \implies x^2 + 3x - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение: $D = 3^2 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

9) $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x + \frac{1}{x}) + 12 = 0$

Это возвратное уравнение. Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$.

Тогда $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 - 2) + 7t + 12 = 0$

$t^2 + 7t + 10 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = -2, t_2 = -5$.

Выполним обратную замену:

1) $x + \frac{1}{x} = -2 \implies x^2 + 1 = -2x \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0$. Отсюда $x = -1$.

2) $x + \frac{1}{x} = -5 \implies x^2 + 1 = -5x \implies x^2 + 5x + 1 = 0$.

$D = 5^2 - 4(1)(1) = 21$.

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x = -1, x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

10) $(x^2 + \frac{4}{x^2}) - (x - \frac{2}{x}) - 16 = 0$

Сделаем замену $t = x - \frac{2}{x}$.

Тогда $t^2 = (x - \frac{2}{x})^2 = x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 + 4$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 + 4) - t - 16 = 0$

$t^2 - t - 12 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 4, t_2 = -3$.

Выполним обратную замену:

1) $x - \frac{2}{x} = 4 \implies x^2 - 2 = 4x \implies x^2 - 4x - 2 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4(1)(-2) = 16 + 8 = 24$.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.

2) $x - \frac{2}{x} = -3 \implies x^2 - 2 = -3x \implies x^2 + 3x - 2 = 0$.

$D = 3^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $x = 2 \pm \sqrt{6}, x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

21. Найдите асимптоты графика функции:

1) $y = \frac{x+3}{x-1}$;

2) $y = \frac{4-2x}{x+3}$;

3) $y = \frac{x^2+4}{x-2}$;

4) $y = \frac{x^2-4x}{x+2}$.

1) Для функции $y = \frac{x+3}{x-1}$ найдем асимптоты.

Вертикальная асимптота: Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Чтобы проверить, является ли прямая $x=1$ вертикальной асимптотой, вычислим односторонние пределы при $x \to 1$:

$\lim_{x \to 1-} \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{-0} = -\infty$

$\lim_{x \to 1+} \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{+0} = +\infty$

Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: Ищем предел функции при $x \to \pm\infty$. Так как степени многочленов в числителе и знаменателе равны (обе равны 1), горизонтальная асимптота существует и равна отношению коэффициентов при старших степенях $x$:

$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x+3}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{1} = 1$.

Следовательно, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой. Поскольку существует горизонтальная асимптота, наклонная асимптота отсутствует.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=1$.

2) Для функции $y = \frac{4-2x}{x+3}$ найдем асимптоты.

Вертикальная асимптота: Знаменатель обращается в ноль при $x+3=0$, то есть при $x=-3$. Числитель в этой точке не равен нулю: $4 - 2(-3) = 10 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=-3$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота: Степень числителя равна степени знаменателя. Горизонтальная асимптота равна отношению коэффициентов при старших степенях $x$:

$y = \lim_{x \to \infty} \frac{4-2x}{x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}-2}{1+\frac{3}{x}} = \frac{-2}{1} = -2$.

Прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой. Наклонной асимптоты нет.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-3$, горизонтальная асимптота $y=-2$.

3) Для функции $y = \frac{x^2+4}{x-2}$ найдем асимптоты.

Вертикальная асимптота: Знаменатель обращается в ноль при $x-2=0$, то есть при $x=2$. Числитель в этой точке не равен нулю: $2^2+4 = 8 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота: Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому у графика функции есть наклонная асимптота вида $y=kx+b$, а горизонтальной асимптоты нет.

Чтобы найти наклонную асимптоту, выделим целую часть дроби с помощью деления многочленов:

$\frac{x^2+4}{x-2} = \frac{x^2-2x+2x+4}{x-2} = \frac{x(x-2)+2(x-2)+8}{x-2} = x+2 + \frac{8}{x-2}$.

При $x \to \pm\infty$ слагаемое $\frac{8}{x-2}$ стремится к нулю, поэтому график функции приближается к прямой $y=x+2$.

Таким образом, $y=x+2$ — наклонная асимптота.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=x+2$.

4) Для функции $y = \frac{x^2-4x}{x+2}$ найдем асимптоты.

Вертикальная асимптота: Знаменатель обращается в ноль при $x+2=0$, то есть при $x=-2$. Числитель в этой точке не равен нулю: $(-2)^2-4(-2) = 4+8=12 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота: Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), значит, есть наклонная асимптота $y=kx+b$.

Выделим целую часть дроби:

$\frac{x^2-4x}{x+2} = \frac{x^2+2x-6x}{x+2} = \frac{x(x+2)-6x}{x+2} = x - \frac{6x}{x+2} = x - \frac{6(x+2)-12}{x+2} = x - (6 - \frac{12}{x+2}) = x - 6 + \frac{12}{x+2}$.

При $x \to \pm\infty$ слагаемое $\frac{12}{x+2}$ стремится к нулю, поэтому график функции приближается к прямой $y=x-6$.

Следовательно, $y=x-6$ — наклонная асимптота.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-2$, наклонная асимптота $y=x-6$.