Номер 18, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

1) $f(x) = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x$;

2) $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$;

3) $f(x) = 2x - \operatorname{tg}x$;

4) $f(x) = x + \operatorname{ctg}x$.

1)Дана функция $f(x) = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x$.

Для решения уравнения $f'(x) = 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x)' = (\cos x)' + (\frac{\sqrt{3}}{2}x)' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его общее решение записывается в виде:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем окончательное решение:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)Дана функция $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x - \frac{x}{2})' = (\sin x)' - (\frac{1}{2}x)' = \cos x - \frac{1}{2}$.

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$\cos x - \frac{1}{2} = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)Дана функция $f(x) = 2x - \tan x$.

Найдем производную функции. Область определения функции $f(x)$ и ее производной $f'(x)$ — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$f'(x) = (2x - \tan x)' = (2x)' - (\tan x)' = 2 - \frac{1}{\cos^2 x}$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$2 - \frac{1}{\cos^2 x} = 0$

$2 = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\cos^2 x = \frac{1}{2}$

Это уравнение распадается на два: $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ является серия корней $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решением уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ является серия корней $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти две серии решений, получаем более компактную запись:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Все найденные корни принадлежат области определения функции.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4)Дана функция $f(x) = x + \cot x$.

Найдем производную функции. Область определения функции $f(x)$ и ее производной $f'(x)$ — все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$f'(x) = (x + \cot x)' = (x)' + (\cot x)' = 1 - \frac{1}{\sin^2 x}$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$1 - \frac{1}{\sin^2 x} = 0$

$1 = \frac{1}{\sin^2 x}$

$\sin^2 x = 1$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\sin x = 1$ и $\sin x = -1$.

Решением уравнения $\sin x = 1$ является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решением уравнения $\sin x = -1$ является $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти две серии решений, получаем одну общую формулу:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Все найденные корни принадлежат области определения функции.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.