Номер 11, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11. Найдите производную функции f(x):

1) $f(x) = \sin^2 2x + \cos^2 2x - \sqrt{2x}$;

2) $f(x) = \sin^3 2x + \cos 3x - \frac{2}{x}$;

3) $f(x) = \text{tg}^2 2x + \text{ctg} 3x + \sqrt{\pi}$;

4) $f(x) = \text{arctg} 2x + \text{arccos} x + \sqrt{x}$.

1) Дана функция $f(x) = \sin^2(2x) + \cos^2(2x) - \sqrt{2x}$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. В данном случае $\alpha = 2x$, поэтому $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.

Функция упрощается до вида: $f(x) = 1 - \sqrt{2x}$.

Теперь найдем производную. Производная от константы равна нулю. Для нахождения производной от $\sqrt{2x}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Пусть $g(u) = \sqrt{u}$ и $h(x) = 2x$. Тогда $g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ и $h'(x) = 2$.

$f'(x) = (1)' - (\sqrt{2x})' = 0 - \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot (2x)' = -\frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = -\frac{2}{2\sqrt{2x}} = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{2x}}$.

2) Дана функция $f(x) = \sin^3(2x) + \cos(3x) - \frac{2}{x}$.

Находим производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования сложной функции и правило степенной функции.

Для первого слагаемого $(\sin^3(2x))'$: Это сложная функция. Применяем правило цепной производной: $(\sin^3(2x))' = 3\sin^2(2x) \cdot (\sin(2x))' = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$.

Для второго слагаемого $(\cos(3x))'$: $(\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Для третьего слагаемого $(-\frac{2}{x})'$, представим его как $(-2x^{-1})'$: $(-2x^{-1})' = -2 \cdot (-1)x^{-1-1} = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.

Складываем полученные производные: $f'(x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 3\sin(3x) + \frac{2}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 3\sin(3x) + \frac{2}{x^2}$.

3) Дана функция $f(x) = \operatorname{tg}^2(2x) + \operatorname{ctg}(3x) + \sqrt{\pi}$.

Заметим, что $\sqrt{\pi}$ является константой, поэтому ее производная равна нулю. Находим производную для остальных слагаемых.

Для первого слагаемого $(\operatorname{tg}^2(2x))'$: Используем правило дифференцирования сложной функции. $(\operatorname{tg}^2(2x))' = 2\operatorname{tg}(2x) \cdot (\operatorname{tg}(2x))' = 2\operatorname{tg}(2x) \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = 2\operatorname{tg}(2x) \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 = \frac{4\operatorname{tg}(2x)}{\cos^2(2x)}$.

Для второго слагаемого $(\operatorname{ctg}(3x))'$: $(\operatorname{ctg}(3x))' = -\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot (3x)' = -\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot 3 = -\frac{3}{\sin^2(3x)}$.

Производная константы $(\sqrt{\pi})' = 0$.

Объединяем результаты: $f'(x) = \frac{4\operatorname{tg}(2x)}{\cos^2(2x)} - \frac{3}{\sin^2(3x)}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4\operatorname{tg}(2x)}{\cos^2(2x)} - \frac{3}{\sin^2(3x)}$.

4) Дана функция $f(x) = \operatorname{arctg}(2x) + \operatorname{arccos}(x) + \sqrt{x}$.

Находим производную каждого слагаемого, используя табличные производные и правило дифференцирования сложной функции.

Для первого слагаемого $(\operatorname{arctg}(2x))'$: Используем формулу $(\operatorname{arctg}(u))' = \frac{u'}{1+u^2}$. Здесь $u=2x$, $u'=2$. $(\operatorname{arctg}(2x))' = \frac{2}{1+(2x)^2} = \frac{2}{1+4x^2}$.

Для второго слагаемого $(\operatorname{arccos}(x))'$: Это табличная производная: $(\operatorname{arccos}(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Для третьего слагаемого $(\sqrt{x})'$, представим его как $(x^{1/2})'$: Используем правило для степенной функции: $(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Суммируем все производные: $f'(x) = \frac{2}{1+4x^2} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{1+4x^2} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.