Номер 10, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. 1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x};$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (-2x)}{\operatorname{tg} 2x};$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2};$

4) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{(2x)^2};$

5) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{3 - x};$

6) $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 9};$

7) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 + 2x - 8};$

8) $\lim_{x \to -6} \frac{x^2 + 5x - 6}{2x + 12}.$

1)Для вычисления предела $ \lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x} $ мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Воспользуемся первым замечательным пределом $ \lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.Преобразуем выражение, умножив и разделив числитель на $ 3x $, а знаменатель на $ 2x $:$ \lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2x} $.Поскольку при $ x \to 0 $, также $ 3x \to 0 $ и $ 2x \to 0 $, мы можем применить первый замечательный предел к числителю и знаменателю:$ \lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1 $ и $ \lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 $.Тогда предел становится:$ \lim_{x\to0} \frac{1 \cdot 3x}{1 \cdot 2x} = \lim_{x\to0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} $.Ответ: $ \frac{3}{2} $

2)Для вычисления предела $ \lim_{x\to0} \frac{\sin(-2x)}{\operatorname{tg} 2x} $ мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Используем свойство нечетности синуса $ \sin(-a) = -\sin(a) $ и определение тангенса $ \operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a} $.$ \lim_{x\to0} \frac{\sin(-2x)}{\operatorname{tg} 2x} = \lim_{x\to0} \frac{-\sin 2x}{\frac{\sin 2x}{\cos 2x}} $.Упростим выражение:$ \lim_{x\to0} \frac{-\sin 2x \cdot \cos 2x}{\sin 2x} $.Поскольку $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $, то $ \sin 2x \neq 0 $, и мы можем сократить на $ \sin 2x $:$ \lim_{x\to0} (-\cos 2x) $.Подставляем $ x = 0 $:$ -\cos(2 \cdot 0) = -\cos(0) = -1 $.Ответ: $ -1 $

3)Для вычисления предела $ \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} $ мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени $ 1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha $.Применив эту формулу, получим:$ \lim_{x\to0} \frac{2\sin^2 x}{x^2} $.Перепишем выражение, используя первый замечательный предел $ \lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1 $:$ \lim_{x\to0} 2 \cdot \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 2 \cdot \left(\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}\right)^2 $.Подставляем значение замечательного предела:$ 2 \cdot 1^2 = 2 $.Ответ: $ 2 $

4)Для вычисления предела $ \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 2x}{(2x)^2} $ мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Воспользуемся следствием из первого замечательного предела (иногда называемым вторым замечательным пределом): $ \lim_{u\to0} \frac{1 - \cos u}{u^2} = \frac{1}{2} $.Сделаем замену переменной. Пусть $ u = 2x $. Когда $ x \to 0 $, то и $ u \to 0 $.Тогда наш предел принимает вид:$ \lim_{u\to0} \frac{1 - \cos u}{u^2} $.Согласно указанному пределу, это выражение равно $ \frac{1}{2} $.Ответ: $ \frac{1}{2} $

5)Для вычисления предела $ \lim_{x\to3} \frac{x^2 - x - 6}{3 - x} $ подставим $ x=3 $ в числитель и знаменатель:Числитель: $ 3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0 $.Знаменатель: $ 3 - 3 = 0 $.Получили неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Это означает, что $ x=3 $ является корнем многочлена в числителе. Разложим числитель на множители.Для $ x^2 - x - 6 = 0 $ найдем корни: $ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} $. Корни: $ x_1 = 3 $, $ x_2 = -2 $.Тогда $ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $.Подставим разложение в предел:$ \lim_{x\to3} \frac{(x - 3)(x + 2)}{3 - x} = \lim_{x\to3} \frac{(x - 3)(x + 2)}{-(x - 3)} $.Сократим на $ (x - 3) $, так как $ x \to 3 $, но $ x \neq 3 $:$ \lim_{x\to3} -(x + 2) = -(3 + 2) = -5 $.Ответ: $ -5 $

6)Для вычисления предела $ \lim_{x\to-3} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 9} $ подставим $ x=-3 $:Числитель: $ (-3)^2 + (-3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0 $.Знаменатель: $ (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0 $.Получили неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Разложим числитель и знаменатель на множители.Для числителя $ x^2 + x - 6 = 0 $ найдем корни: $ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} $. Корни: $ x_1 = 2 $, $ x_2 = -3 $. Тогда $ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) $.Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $.Подставим разложения в предел:$ \lim_{x\to-3} \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} $.Сократим на $ (x + 3) $, так как $ x \to -3 $, но $ x \neq -3 $:$ \lim_{x\to-3} \frac{x - 2}{x - 3} = \frac{-3 - 2}{-3 - 3} = \frac{-5}{-6} = \frac{5}{6} $.Ответ: $ \frac{5}{6} $

7)Для вычисления предела $ \lim_{x\to2} \frac{x^2 + x - 6}{2x^2 + 2x - 8} $ подставим предельное значение $ x=2 $ в выражение.Вычислим значение числителя при $ x=2 $:$ 2^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0 $.Вычислим значение знаменателя при $ x=2 $:$ 2(2^2) + 2(2) - 8 = 2(4) + 4 - 8 = 8 + 4 - 8 = 4 $.Поскольку знаменатель не равен нулю в предельной точке, мы можем найти предел прямой подстановкой:$ \lim_{x\to2} \frac{x^2 + x - 6}{2x^2 + 2x - 8} = \frac{0}{4} = 0 $.Ответ: $ 0 $

8)Для вычисления предела $ \lim_{x\to-6} \frac{x^2 + 5x - 6}{2x + 12} $ подставим $ x=-6 $:Числитель: $ (-6)^2 + 5(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0 $.Знаменатель: $ 2(-6) + 12 = -12 + 12 = 0 $.Получили неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Разложим числитель и знаменатель на множители.Для числителя $ x^2 + 5x - 6 = 0 $ найдем корни: $ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25+24}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} $. Корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = -6 $. Тогда $ x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6) $.Знаменатель: $ 2x + 12 = 2(x + 6) $.Подставим разложения в предел:$ \lim_{x\to-6} \frac{(x - 1)(x + 6)}{2(x + 6)} $.Сократим на $ (x + 6) $, так как $ x \to -6 $, но $ x \neq -6 $:$ \lim_{x\to-6} \frac{x - 1}{2} = \frac{-6 - 1}{2} = \frac{-7}{2} $.Ответ: $ -\frac{7}{2} $